大题规范练(二)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2＋(－1)n·an，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1) {an}为等差数列，∴⇒⇒an＝2n＋1.(2) bn＝2＋(－1)n·an＝22n＋1＋(－1)n·(2n＋1)＝2×4n＋(－1)n·(2n＋1)，∴Tn＝2×(41＋42＋…＋4n)＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n(2n＋1)]＝＋Gn.当n＝2k(k∈N*)时，Gn＝2×＝n，∴Tn＝＋n；当n＝2k－1(k∈N*)时，Gn＝2×－(2n＋1)＝－n－2，∴Tn＝－n－2，∴Tn＝2．(本小题满分12分)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中将均可获得奖金400元．(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？解：(1)P(X＝0)＝＋××＝，P(X＝500)＝×＝，P(X＝1000)＝××＝，∴某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为X05001000P(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)＝500×＋1000×＝520，若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B，则E(ξ)＝3×＝，抽奖所获奖金X的期望E(X)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故选择方案甲较划算．3．(本小题满分12分)如图所示，该几何体由一个直三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥PABCD组合而成，AD⊥AF，AE＝AD＝2.(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；(2)若正四棱锥PABCD的高为1，求二面角CAFP的余弦值．解：(1)证明： 直三棱柱ADEBCF中，AB⊥平面ADE，∴AB⊥AD，又AD⊥AF，AB∩AF＝A，∴AD⊥平面ABFE， AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABFE.(2) AD∥BC，AD⊥平面ABFE，∴BC⊥平面ABFE，且AB⊥BF，建立以B为坐标原点，BA，BF，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示． 正四棱锥PABCD的高为1，AE＝AD＝2，∴A(2,0,0)，E(2,2,0)，F(0,2,0)，C(0,0,2)，P(1，－1,1)，∴AF＝(－2,2,0)，CF＝(0,2，－2)，PA＝(1,1，－1)，设n1＝(x1,1，z1)是平面ACF的一个法向量，则n1⊥AF，n1⊥CF，∴，即，解得x1＝1，z1＝1，即n1＝(1,1,1)．设n2＝(x2,1，z2)是平面PAF的一个法向量，则n2⊥AF，n2⊥PA，∴，即，解得x2＝1，z2＝2，即n2＝(1,1,2)．∴cos〈n1，n2〉＝＝＝，又二面角CAFP是锐角，∴二面角CAFP的余弦值是.4．(本小题满分12分)已知椭圆C1的焦点在x轴上，中心在坐标原点；抛物线C2的焦点在y轴上，顶点在坐标原点．在C1，C2上各取两个点，将其坐标记录于表格中：x3－24y08(1)求C1，C2的标准方程；(2)已知定点C，P为抛物线C2上一动点，过点P作抛物线C2的切线交椭圆C1于A，B两点，求△ABC面积的最大值．解：(1)设C1：＋＝1(a＞b＞0)，由题意知，点(－2,0)一定在椭圆上，则点也在椭圆上，分别将其代入，得＝1，＋＝1，解得a2＝4，b2＝1，∴C1的标准方程为＋y2＝1.设C2：x2＝2py(p＞0)，依题意知，点(4,8)在抛物线上，代入抛物线C2的方程，得p＝1，∴C2的标准方程为x2＝2y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P，由y＝x2知y′＝x，故直线AB的方程为y－t2＝t(x－t)，即y＝tx－t2，代入椭圆C1的方程，整理得(1＋4t2)x2－4t3x＋t4－4＝0，Δ＝16t6－4(1＋4t2)(t4－4)＝4(－t4＋16t2＋4)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝，∴|AB|＝＝，设点C到直线AB的距离为d，则d＝＝·，∴S△ABC＝×|AB|×d＝×××＝＝≤＝，当且仅当t＝±2时，取等号，此时满足Δ＞0.综上，△ABC面积的最大值为.5．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ax2(x＞0，e为自然对数的底数)，f′(x)是f(x)的导函数．(1)当a＝2时，求证：f(x)＞1；(2)是否存在正整数a，使得f′(x)≥x...
