第七章立体几何7.6空间向量及运算练习理[A组·基础达标练]1．[2016·潍坊月考]如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP，AE〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为()A．(1,1,1)B.C.D．(1,1,2)答案A解析设P(0,0，z)，依题意知A(2,0,0)，B(2,2,0)，则E，于是DP＝(0,0，z)，AE＝，cos〈DP，AE〉＝＝＝.解得z＝±2，由题图知z＝2，故E(1,1,1)．2．[2015·青岛一模]已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是()A．a∥c，b∥cB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对答案C解析 c＝2a，∴a∥c又a·b＝(－2，－3,1)·(2,0,4)＝0，故a⊥b，故选C.3．[2016·银川质检]已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，B．－，C．－3,2D．2,2答案A解析 a∥b可得解得或.4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于()A.B.C.D.答案D解析由题意存在实数x，y使得c＝xa＋yb，即(7,5，λ)＝x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2)，由此得方程组解得x＝，y＝，所以λ＝－＝.15．[2015·北京东城一模]如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则|PC|等于()A．6B．6C．12D．144答案C解析 PC＝PA＋AB＋BC∴PC2＝PA2＋AB2＋BC2＋2AB·BCPC2＝36＋36＋36＋2×36cos60°∴|PC|＝12.6．[2016·福州质检]正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()A.aB.aC.aD.a答案A解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)． 点M在AC1上且AM＝MC1，∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)∴x＝a，y＝，z＝.∴M，∴|MN|＝＝a.故选A.7．[2015·广东一模]若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.答案－2或解析＝＝解得λ＝－2或.28．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝________.答案11解析根据共面向量定理设AP＝λAB＋μAC，即(x－4，－2,0)＝λ(－2,2，－2)＋μ(－1,6，－8)，由此得解得λ＝－4，μ＝1.所以x＝4＋8－1＝11.9．[2015·新乡一模]在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)、B(10，－1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．答案2解析AB＝(6，－2，－3)，AC＝(x－4,3，－6)，由题意可知AB·AC＝0.|AB|＝|AC|,6(x－4)－6＋18＝0可解得x＝2.10．已知各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD－A′B′C′D′.设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′的对角线BC′上的点，且BN∶NC′＝3∶1，设MN＝αAB＋βAD＋γAA′，试求α，β，γ之值．解MN＝MB＋BN＝DB＋BC′＝(DA＋AB)＋(BC＋CC′)＝(－AD＋AB)＋(AD＋AA′)＝AB＋AD＋AA′，所以α＝，β＝，γ＝.[B组·能力提升练]1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A．－1B.C.D.答案D解析由题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，即2ka2＋(2－k)a·b－b2＝0，即4k－5＋(2－k)×(－1)＝0，解得k＝，故选D.2．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直3答案B解析如图所示，在图(1)中，易知AE＝CF＝，BE＝EF＝FD＝.在图(2)中，设AE＝a，EF＝b，FC＝c，则〈a，b〉＝〈b，c〉＝90°，设〈a，c〉＝θ，则AC＝a＋b＋c，BD＝3b，故AC·BD＝3b2＝1≠0，故AC与BD不垂直，A不正确；AB＝AE＋EB＝a－b，CD＝CF＋FD＝b－c，所以AB·CD＝－a·c－b2＝－cosθ－.当cosθ＝－，即θ＝时，AB·CD＝0，故B正确；AD＝AE＋ED＝a＋2b，BC＝BF＋FC＝2b＋c，所以AD·BC＝a·c＋4b2＝cosθ＋＝(cosθ＋2)，故无论θ为何值，AD·BC≠0，故C不正确，故选B.3．已知向量a，b满足的条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．答案45...
