(三)函数与导数(1)1．(2017·天津)设a，b∈R，|a|≤1.已知函数f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，g(x)＝exf(x)．(1)求f(x)的单调区间；(2)已知函数y＝g(x)和y＝ex的图象在公共点(x0，y0)处有相同的切线．①求证：f(x)在x＝x0处的导数等于0；②若关于x的不等式g(x)≤ex在区间[x0－1，x0＋1]上恒成立，求b的取值范围．(1)解由f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，可得f′(x)＝3x2－12x－3a(a－4)＝3(x－a)[x－(4－a)]．令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝4－a.由|a|≤1，得a<4－a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，a)(a,4－a)(4－a，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)↗↘↗所以f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(4－a，＋∞)，单调递减区间为(a,4－a)．(2)①证明因为g′(x)＝ex(f(x)＋f′(x))，由题意知所以解得所以f(x)在x＝x0处的导数等于0.②解因为g(x)≤ex，x∈[x0－1，x0＋1]，且ex>0，所以f(x)≤1.又因为f(x0)＝1，f′(x0)＝0，所以x0为f(x)的极大值点，由(1)知，x0＝a.另一方面，由于|a|≤1，故a＋1<4－a.由(1)知，f(x)在(a－1，a)内单调递增，在(a，a＋1)内单调递减，故当x0＝a时，f(x)≤f(a)＝1在[a－1，a＋1]上恒成立，从而g(x)≤ex在[x0－1，x0＋1]上恒成立．由f(a)＝a3－6a2－3a(a－4)a＋b＝1，得b＝2a3－6a2＋1，－1≤a≤1.令t(x)＝2x3－6x2＋1，x∈[－1,1]，所以t′(x)＝6x2－12x.令t′(x)＝0，解得x＝2(舍去)或x＝0.因为t(－1)＝－7，t(1)＝－3，t(0)＝1，所以t(x)的值域为[－7,1]．所以b的取值范围是[－7,1]．2．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．因为r>0，又由h>0，可得r<5，故函数V(r)的定义域为(0,5)．(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，所以V′(r)＝(300－12r2)，令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．3．(2017届天津市红桥区二模)已知函数f(x)＝lnx－ax＋(a，b∈R)，且对任意x>0，都有f(x)＋f＝0.(1)用含a的表达式表示b；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且x1
0；(3)在(2)的条件下，判断y＝f(x)零点的个数，并说明理由．解(1)根据题意，令x＝1，可得f(1)＋f(1)＝0，所以f(1)＝－a＋b＝0，经验证，可得当a＝b时，对任意x>0，都有f(x)＋f＝0，所以b＝a.(2)由(1)可知，f(x)＝lnx－ax＋，且x>0，所以f′(x)＝－a－＝，令g(x)＝－ax2＋x－a，要使f(x)存在两个极值点x1，x2，则y＝g(x)有两个不相等的正实数根，所以或解得0h＝－2ln2＋4－－ln2>－3lne>0.即当00.(3)因为f′(x)＝－a－＝，g(x)＝－ax2＋x－a.令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝.由(2)知，当00，g(0)＝－a<0，所以x2>1.又x1x2＝1，可得x1<1，此时，f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，在(x2，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x)最多只有三个不同的零点．又因为f(1)＝0，所以f(x)在(x1,1)上单调递增，即当x∈[x1,1)时，f(x)<0恒成立．根据(2)可知，f>0且0<<，所以∉(x1,1)，即∈(0，x1)，所以∃x0∈，使得f(x0)＝0.由01，又f＝－f(x0)＝0，f(1)＝0，所以f(x...
