第19讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课时达标一、选择题1.已知tan(α-π)=,且α∈,则sin=()A.B.-C.D.-B解析由tan(α-π)=得tanα=.又因为α∈,所以α为第三象限角,所以sin=cosα=-.故选B.2.=()A.-B.-1C.1D.B解析原式====-13.(2019·河南八市联考)已知函数f(x)=sinx-cosx,且f′(x0)=f(x0),则tan2x0的值是()A.-B.-C.-D.D解析由f′(x0)=f(x0)⇒cosx0+sinx0=sinx0-cosx0,所以tanx0=-3,所以tan2x0===,故选D.4.已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sinα的值是()A.B.C.D.C解析由已知得-2tanα+3sinβ+5=0,tanα-6sinβ=1,解得tanα=3,故sinα=.5.已知-<α<0,sinα+cosα=,则的值为()A.B.C.D.C解析因为sinα+cosα=,所以1+2sinαcosα=,即2sinαcosα=-,又因为-<α<0,所以cosα-sinα>0.所以cosα-sinα==,所以==.6.若A,B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限B解析因为△ABC是锐角三角形,则A+B>,所以A>-B>0,B>-A>0,所以sinA>sin=cosB,sinB>sin=cosA,所以cosB-sinA<0,sinB-cosA>0,所以点P在第二象限.故选B.二、填空题7.已知tanα=-,<α<π,则sinα=________.解析因为α为第二象限角,tanα=-,所以sinα>0,且=-,sin2α+cos2α=1,所以sinα=.答案8.若f(cosx)=cos2x,则f(sin15°)=________.解析f(sin15°)=f(cos75°)=cos150°=-cos30°=-.答案-9.函数y=的最大值为________.解析设t=cosx+sinx,则t∈[-,-1)∪(-1,].于是y==,当t=时,y取最大值.答案三、解答题10.(2019·深圳中学期中)已知cos(α-7π)=-,求sin(3π+α)·tan的值.解析因为cos(α-7π)=cos(7π-α)=cos(π-α)=-cosα=-,所以cosα=.所以sin(3π+α)·tan=sin(π+α)·=sinα·tan=sinα·=cosα=.11.已知sin2α+sinαcosα-2cos2α=,求tanα的值.解析由已知得=,且cosα≠0,所以=,整理得tan2α+5tanα-14=0,解得tanα=2或tanα=-7.12.(2019·华南师大附中期中)已知α为第三象限角,f(α)=.(1)化简f(α);(2)若cos=,求f(α)的值.解析(1)根据题意可以得到f(α)==-cosα.(2)因为cos=,所以-sinα=,从而sinα=-.又α为第三象限角,所以cosα=-=-,所以f(α)=-cosα=.13.[选做题]化简(n∈Z)的结果为________.解析因为n为整数,所以cos(nπ+x)=(-1)ncosx,sin(nπ-x)=(-1)n-1sinx,cos[(2n+1)π-x]=-cosx,所以原式===sin2x.答案sin2x