（江苏专用）高考数学大一轮复习 第四章 第28课 函数f（x）Asin（ωxφ）的图象要点导学-人教版高三全册数学试题VIP免费

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第四章第28课函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象要点导学要点导学各个击破函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与变换已知函数y=3sin1-24x.(1)用“五点法”作函数的图象;(2)说出此图象是由y=sinx的图象经过怎样的变化得到的;(3)求此函数的周期、振幅、初相;(4)求此函数的对称轴、对称中心和单调增区间.[思维引导]用“五点法”画出函数的图象,然后根据函数图象研究其性质.[解答](1)①列表:x252729212x-40π322πy030-30②描点:③作图:如图所示.(例1)(2)方法一:“先平移,后伸缩”.先把y=sinx的图象上所有的点向右平移4个单位长度,得到y=sin-4x的图象;再把y=sin-4x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin（12x-4）的图象;1最后将y=sin1-24x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin（12x-4）的图象.方法二:“先伸缩,后平移”.先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin2x的图象;再把y=sin2x的图象上所有的点向右平移2个单位长度,得到y=sin-24x的图象;最后将y=sin1-24x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin1-24x的图象.(3)周期T=2=212=4π,振幅A=3,初相是-4.(4)由于y=3sin1-24x是周期函数,通过观察图象可知,所有与x轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴,即令12x-4=2+kπ,解得x=32+2kπ,k∈Z,此即为对称轴方程.所有图象与x轴的交点都是函数的对称中心,令12x-4=kπ,得x=2+2kπ,k∈Z,所以对称中心为2,02k,k∈Z.因为x前的系数为正数,所以把12x-4视为一个整体,令-2+2kπ≤12x-4≤2+2kπ,解得x∈3-4,422kk,k∈Z,即为此函数的单调增区间.[精要点评]图象变换有两种方法:一是按照φ→ω→A,二是按照ω→φ→A,其中第二种方法易错.(2014·安徽卷)若将函数f(x)=sin24x的图象向右平移φ个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.[答案]382[解析]方法一:将f(x)=sin24x的图象向右平移φ个单位长度,得到y=sin2-24x的图象,由该函数的图象关于y轴对称,可知sin-24=±1,故2φ-4=kπ+2,k∈Z,即φ=2k+38,k∈Z,所以当φ>0时,φmin=38.方法二:由f(x)=sin24x的图象向右平移φ个单位长度后所得的图象关于y轴对称可知4-2φ=2+kπ,k∈Z,又φ>0,所以φmin=38.确定函数f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0,π<φ<32）的部分图象如图所示.(例2)(1)求函数f(x)的表达式;(2)求函数f(x)在3,22上的最大值和最小值.[思维引导]本题借助正弦函数的图象考查三角函数的基本性质,属于简单的数形结合问题.要求正弦型函数f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式,一般通过以下几个步骤实现:①根据振幅求出A;②根据图象的最高点、最低点或与x轴的交点求周期,再求出ω;③根据特殊值求出初相φ.对于(2),先求出ωx+φ的取值范围,再根据正弦函数在相应区间上的性质即可求解.[解答](1)由题意可得34·2=56--6,即ω=32,因此f(x)=2sin32x.又f56=2,即sin3526=1,而π<φ<32,故φ=54,所以f(x)=2sin3524x.(2)由(1)可知f(x)=2sin3524x=-2sin324x,3由x∈3,22,得32x+4∈5π13,24,所以f(x)∈[-2,2].故f(x)的最大值为2,最小值为-2.[精要点评]利用函数的单调性知识求最值.(2014·南京、盐城二模)若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f3的值是.(变式)[答案]1[解析]由图象可得A=2.又34T=1112π-6=34π,即T=π,所以ω=2.将,26代入得3+φ=2kπ+2,即φ=6+2kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=6...