函数与导数专题作业(2)1．函数的导函数.2．当x∈［0，2］时，函数f(x)=ax2+4(a-1)x-3在x=2时取得最大值，则a的取值范围是.3．已知函数y=在(-∞,1)上是减函数，则实数m的取值范围是______．4．若不等式，在上恒成立，则a的取值范围是．5．已知定义域为的函数，对任意，存在正数，都有成立，则称函数是上的“有界函数”．已知下列函数：①；②；③；④，其中是“有界函数”的是______（写出所有满足要求的函数的符号）．6．若关于x的方程：有两个不相等的实数解，则实数的取值范围：_______________.7．设f(x)的定义域为(0，＋∞)，对于任意正实数m、n恒有f(m·n)＝f(m)＋f(n)且当x>1时，f(x)>0，f()＝－1.(1)求f(2)的值；(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解关于x的不等式f(x)≥2＋f()，其中p>－1.8．设函数fn(x)＝1＋x－＋－…＋，n∈N*.(1)讨论函数f2(x)的单调性；(2)判断方程fn(x)＝0的实数解的个数，并加以证明．用心爱心专心19．已知函数满足对任意，且，都有．（1）求实数的取值范围；（2）试讨论函数在区间上的零点的个数；（3）对于给定的实数，有一个最小的负数，使得时，都成立，则当为何值时，最小，并求出的最小值．答案：用心爱心专心21．函数的导函数.2．当x∈［0，2］时，函数f(x)=ax2+4(a-1)x-3在x=2时取得最大值，则a的取值范围是.[，+∞)3．已知函数y=在(-∞,1)上是减函数，则实数m的取值范围是______。4．若不等式，在上恒成立，则a的取值范围是。5．已知定义域为的函数，对任意，存在正数，都有成立，则称函数是上的“有界函数”。已知下列函数：①；②；③；④，其中是“有界函数”的是______（写出所有满足要求的函数的符号）．①②④6．若关于x的方程：有两个不相等的实数解，则实数的取值范围：_______________.7．设f(x)的定义域为(0，＋∞)，对于任意正实数m、n恒有f(m·n)＝f(m)＋f(n)且当x>1时，f(x)>0，f()＝－1.(1)求f(2)的值；(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解关于x的不等式f(x)≥2＋f()，其中p>－1.解：(1)令m＝n＝1得：f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.而f(1)＝f(2·)＝f(2)＋f()＝f(2)－1＝0，∴f(2)＝1.(2)设0
1，由已知得f()>0. f(1)＝f(x1·)＝f(x1)＋f()＝0，∴f()＝－f(x1)．而f()＝f(x2)＋f()，∴f()＝f(x2)－f(x1)，由f()>0得f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)由f(2)＝1得，2＝f(2)＋f(2)＝f(4)，又f(x)≥2＋f()，∴不等式化为f(x)≥f()，由(2)已证f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数可得：，①当p>0时，由>0得x>4，∴不等式x≥可化为x2－4x－4p≥0.这时，Δ＝16＋16p>0，不等式x2－4x－4p≥0的解为x≥2＋2或x≤2－2.又x>4，∴不等式组的解为x≥2＋2.②当p＝0时，不等式>0不成立，∴不等式组的解集为Ø.③当即－10得x<4，∴不等式x≥可化为x2－4x－4p≤0.不等式组的解为2－2≤x≤2＋2.综上可得：当p>0时，原不等式的解集是{x|x≥2＋2}，用心爱心专心3（第13题图）当p＝0时，原不等式的解集是Ø，当－10，故f2(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)f1(x)＝1＋x，故f1(x)＝0有实数解x＝－1；f2(0)＝1>0，f2(－1)＝－＋<0， f2(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f2(x)＝0在(－1,0)上有唯一实数解，从而f2(x)＝0在(－∞，＋∞)上有唯一实数解．由此猜测fn(x)＝0在(－∞，＋∞)上有唯一实数解，证明如下：当n≥2时，由fn(x)＝1＋x－＋－…＋，得fn′(x)＝1－x＋x2－…－x2n－3＋x2n－2.若x＝－1，则fn′(－1)＝2n－1>0；若x＝0，则fn′(0)＝1>0.当x≠0且x≠－1时，fn′(x)＝，当x<－1时，x＋1<0，x2n－1＋1<0，fn′(x)>0，当x>－1时且x≠0，x＋1>0，x2n－1＋1>0，fn′(x)>0.总之，fn′(x)>0，故fn(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．又fn(0)＝1>0，fn(－1)＝1－1－－－…－－<0，所以当n≥2时，fn(x)＝0在(－1,0)上有唯一实数解，从而fn(x)＝0在(－∞，＋∞)上有唯一实数解...
