第40练平面向量小题综合练[基础保分练]1.如图，点O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，下列向量组：①AD与AB；②AD与BC；③OA与OC；④CA与DC，其中可作为平行四边形所在平面一组基底的向量组是________．2．(2019·苏州模拟)已知α是锐角，a＝，b＝，且a∥b，则α为________．3．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若(a－2b)⊥c，则k＝________.4．给出下列命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若a是单位向量，则|a|＝1；③a与b不平行，则a与b都是非零向量．其中真命题是________．(填序号)5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE＝2EO，则ED＝________.6．已知非零向量a，b，满足|a|＝|b|，且(a＋b)·(3a－2b)＝0，则a与b的夹角为________．7.如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若OC＝mOA＋2mOB，AP＝λAB，则λ＝____________.8.如图，若点G为△ABC的重心，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，则AG·CG＝________.9．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________．10．已知△OAB是边长为1的正三角形，若点P满足OP＝(2－t)OA＋tOB(t∈R)，则|AP|的最小值为________．[能力提升练]1．(2018·南通调研)已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝1，则对任意的正实数t，的最小值是________．12．在△ABC中，E为AC上一点，AC＝3AE，P为BE上任一点，若AP＝mAB＋nAC(m>0，n>0)，则＋的最小值是________．3.已知△ABD是等边三角形，且AB＋AD＝AC，|CD|＝3，那么四边形ABCD的面积为________．4．在平面内，定点A，B，C，O满足|OA|＝|OB|＝|OC|，OA·OB＝OB·OC＝OC·OA＝－2，动点P，Q满足|AP|＝1，PQ＝QC，则4BQ2－37的最大值是________．5．(2018·盐城模拟)在△ABC中，D是边BC上一点，且BD＝DC，点列Pn(n∈N*)在直线AC上，且满足PnA＝an＋1PnB＋anPnD，若a1＝1，则数列{an}的通项an＝________.6．(2018·南京模拟)△ABC是边长为3的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝3a，AC＝3a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b为单位向量；②a为单位向量；③a⊥b；④b∥BC；⑤(6a＋b)⊥BC.2答案精析基础保分练1．①④2.30°或60°3.－34.②③5.AD－AB6.解析设a，b的夹角为θ，∵(a＋b)·(3a－2b)＝0，∴3a2＋a·b－2b2＝0，∴3|a|2＋|a|×|b|×cosθ－2|b|2＝0，∵|a|＝|b|，∴3×|b|2＋|b|×|b|×cosθ－2|b|2＝0，又a，b为非零向量，∴cosθ＝，θ＝，∴a与b的夹角为.7.解析∵AP＝OP－OA，且OP和OC共线，∴存在实数μ，使OP＝μOC＝μ(mOA＋2mOB)，又AP＝λAB，∴μ(mOA＋2mOB)－OA＝λ(OB－OA)，即(μm－1)OA＋2μmOB＝λOB－λOA，∴解得λ＝.8．－解析在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos60°＝4＋1－2×2×1×＝3，∴AC＝，∴AB2＝AC2＋BC2，∴△ABC为直角三角形，且C＝90°.以点C为原点，边CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(，0)，B(0,1)又G为△ABC的重心，3∴点G的坐标为.∴AG＝，CG＝，∴AG·CG＝－×＋×＝－.9．内心解析∵，分别表示向量AB，AC方向上的单位向量，∴＋在∠BAC的角平分线上，由OP＝OA＋λ，可得到OP－OA＝AP＝λ，∴向量AP在∠BAC的角平分线上，∴动点P的轨迹一定通过△ABC的内心．10.解析以O为原点，以OB为x轴，建立平面直角坐标系，∵△AOB为边长为1的正三角形，∴A，B(1,0)，OP＝(2－t)OA＋tOB＝，AP＝OP－OA＝，|AP|＝＝＝≥.能力提升练1．22.123.4．12解析由题意得OA·OB－OB·OC＝0，∴OB·CA＝0，∴OB⊥CA，同理OC⊥AB，OA⊥BC，∴O是△ABC的垂心，又|OA|＝|OB|＝|OC|，∴O为△ABC的外心，因此，△ABC的中心为O，且△ABC为正三角形，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝120°，建立平面直角坐标系，4易得|OA||OB|cos120°＝－2，∴|OA＝|OB|＝2，∴B(－，－1)，C(，－1)，A(0,2)，设P(x，y)，∵|AP|＝1，∴x＝cosθ，y＝2＋sinθ，∵PQ＝QC，∴Q为PC的中点，∴Q，∴|BQ|2＝2＋2，∴4|BQ|2＝(3＋cosθ)2＋(3＋sinθ)2＝37＋12sin，∴4|BQ|2－37＝12sin≤12.5.n－1解析由BD＝DC，可知D为BC的中点，∴PnD＝PnB＋BD＝BC－BPn，∵PnA＝PnB＋BA＝an＋1PnB＋anPnD，∴BA－BPn＝an＋1PnB＋an，∴BA＝(1－an＋1－an)BPn＋anBC，又点列Pn(n∈N*)在直线AC上，即A，Pn，C三点共线，∴1－an＋1－an＋an＝1，∴an＋1＝－an，∴数列{an}是以a1＝1为首项，－为公比的等比数列，∴an＝n－1.6．②④⑤56
