江苏省兴化市文正实验学校高一数学同步检测 三角函数的图象与性质A 苏教版必修2VIP免费

2006—2007学年度第二学期高一数学同步检测第四章三角函数三、三角函数的图象与性质知识网络范题精讲【例1】已知函数y=sin2x+cos2x－2.（1）用“五点法”作出函数在一个周期内的图象;（2）求这个函数的周期和单调区间;（3）求函数图象的对称轴方程.（4）说明图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的.解:y=sin2x+cos2x－2=2sin（2x+）－2.（1）列表x－ππ2x+0ππ2πy=2sin（2x+）－2－20－2－4－2其图象如下图所示.（2）T==π.由－+2kπ≤2x+≤+2kπ，知函数的单调增区间为［－π+kπ+kπ］，k∈Z;由+2kπ≤2x+≤π+2kπ，知函数的单调减区间为［+kπ，π+kπ］，k∈Z.（3）由2x+=+kπ得x=+π.用心爱心专心∴函数图象的对称轴方程为x=+π（k∈Z）.（4）把函数y1=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到函数y2=sin（x+）的图象；再把y2图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y3=sin（2x+）的图象；再把y3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到y4=2sin（2x+）的图象；最后把y4图象上所有的点向下平移2个单位，得到函数y=2sin（2x+）－2的图象.评注:（1）求函数的周期、单调区间、最值等问题，一般都要化成一个角的三角函数形式.（2）对于函数y=Asin（ωx+）的对称轴，实际上就是使函数y取得最大值或最小值时的x值.（3）第（4）问的变换方法不唯一，但必须特别注意平移变换与伸缩变换的先后顺序.【例2】如右图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+）+B.（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式.解:（1）由图，可知这段时间的最大温差是30－10=20（℃）.（2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx+）+B的半个周期的图象，∴·=14－6ω=.又由图可得A==10，B==20.∴y=10sin（x+）+20.将x=6，y=10代入上式，得sin（π+）=－1.∴π+=π=π.故所求曲线的解析式为y=10sin（x+π）+20，x∈［6，14］.评注:（1）本题以应用题的形式考查热点题型，设计新颖别致，独具匠心.（2）此类“由已知条件或图象求函数的解析式”的题目，实质上是用“待定系数法”确定A，ω，和B，它们的计算方法为A=，B=.ω与周期有关，可通过T=求得，而关键的一步在于如何确定.通常是将图象上已知点的坐标代入函数解析式，得到一个关于φ的简单三角方程，但到底取何值却值得考虑.若得方程sin=，那么是取用心爱心专心，还是取π呢？这就要看所代入的点是在上升的曲线上，还是在下降的曲线上了.若在上升的曲线上，就取，否则就取π，而不能同时取两个值.【例3】a为何值时，方程sin2x+2sinxcosx－2cos2x=a有实数解.分析:所给方程的特征较明显，即是关于sinx与cosx的齐次方程，通过变形就可化为以tanx为变元的一元二次方程，从而据判别式进行求解.解法一:原方程可化为sin2x+2sinxcosx－2cos2x=a（sin2x+cos2x），即（1－a）sin2x+2sinxcosx－（2+a）cos2x=0.（1）当a≠1时， cosx≠0，∴方程两边同除以cos2x，得（1－a）tan2x+2tanx－（2+a）=0. tanx∈R，∴Δ≥0，即4+4（1－a）（2+a）≥0，即a2+a－3≤0.又a≠1，∴a∈［，1）∪（1，］.（2）当a=1时，原方程化为2sinxcosx－3cos2x=0，此方程有实根.综合（1）（2）可得当a∈［，］时，原方程有实数根.解法二:（用函数观点）当实数a取函数y=sin2x+2sinxcosx－2cos2x值域中的数值时，原方程有实根.因此，求a的范围，实质上就是求上述函数的值域. y=sin2x+2sinxcosx－2cos2x=1+sin2x－3cos2x=1+sin2x－（1+cos2x）=sin2x－cos2x－=sin（2x－）－，其中∴y∈［，］，即a∈［，］时，原方程有实数根.评注:解法一是常规解法，解法二利用了变换的观点，通过函数思想来解方程.函数与方程是数学中两个重要的概念，在解决数学问题时，如能灵活运用，将使解答具有创造性.【例4】某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室.如图所示，ABCD是一块边长为50m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40m，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，H在上.设矩形AGHM的面积为S，∠HCF=θ，请将S表示为θ的函数，并指出当点H在的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？...