2006—2007学年度第二学期高一数学同步检测第四章三角函数三、三角函数的图象与性质知识网络范题精讲【例1】已知函数y=sin2x+cos2x-2.(1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象;(2)求这个函数的周期和单调区间;(3)求函数图象的对称轴方程.(4)说明图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的.解:y=sin2x+cos2x-2=2sin(2x+)-2.(1)列表x-ππ2x+0ππ2πy=2sin(2x+)-2-20-2-4-2其图象如下图所示.(2)T==π.由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,知函数的单调增区间为[-π+kπ+kπ],k∈Z;由+2kπ≤2x+≤π+2kπ,知函数的单调减区间为[+kπ,π+kπ],k∈Z.(3)由2x+=+kπ得x=+π.用心爱心专心∴函数图象的对称轴方程为x=+π(k∈Z).(4)把函数y1=sinx的图象上所有的点向左平移个单位,得到函数y2=sin(x+)的图象;再把y2图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到y3=sin(2x+)的图象;再把y3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到y4=2sin(2x+)的图象;最后把y4图象上所有的点向下平移2个单位,得到函数y=2sin(2x+)-2的图象.评注:(1)求函数的周期、单调区间、最值等问题,一般都要化成一个角的三角函数形式.(2)对于函数y=Asin(ωx+)的对称轴,实际上就是使函数y取得最大值或最小值时的x值.(3)第(4)问的变换方法不唯一,但必须特别注意平移变换与伸缩变换的先后顺序.【例2】如右图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+)+B.(1)求这段时间的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.解:(1)由图,可知这段时间的最大温差是30-10=20(℃).(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+)+B的半个周期的图象,∴·=14-6ω=.又由图可得A==10,B==20.∴y=10sin(x+)+20.将x=6,y=10代入上式,得sin(π+)=-1.∴π+=π=π.故所求曲线的解析式为y=10sin(x+π)+20,x∈[6,14].评注:(1)本题以应用题的形式考查热点题型,设计新颖别致,独具匠心.(2)此类“由已知条件或图象求函数的解析式”的题目,实质上是用“待定系数法”确定A,ω,和B,它们的计算方法为A=,B=.ω与周期有关,可通过T=求得,而关键的一步在于如何确定.通常是将图象上已知点的坐标代入函数解析式,得到一个关于φ的简单三角方程,但到底取何值却值得考虑.若得方程sin=,那么是取用心爱心专心,还是取π呢?这就要看所代入的点是在上升的曲线上,还是在下降的曲线上了.若在上升的曲线上,就取,否则就取π,而不能同时取两个值.【例3】a为何值时,方程sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a有实数解.分析:所给方程的特征较明显,即是关于sinx与cosx的齐次方程,通过变形就可化为以tanx为变元的一元二次方程,从而据判别式进行求解.解法一:原方程可化为sin2x+2sinxcosx-2cos2x=a(sin2x+cos2x),即(1-a)sin2x+2sinxcosx-(2+a)cos2x=0.(1)当a≠1时, cosx≠0,∴方程两边同除以cos2x,得(1-a)tan2x+2tanx-(2+a)=0. tanx∈R,∴Δ≥0,即4+4(1-a)(2+a)≥0,即a2+a-3≤0.又a≠1,∴a∈[,1)∪(1,].(2)当a=1时,原方程化为2sinxcosx-3cos2x=0,此方程有实根.综合(1)(2)可得当a∈[,]时,原方程有实数根.解法二:(用函数观点)当实数a取函数y=sin2x+2sinxcosx-2cos2x值域中的数值时,原方程有实根.因此,求a的范围,实质上就是求上述函数的值域. y=sin2x+2sinxcosx-2cos2x=1+sin2x-3cos2x=1+sin2x-(1+cos2x)=sin2x-cos2x-=sin(2x-)-,其中∴y∈[,],即a∈[,]时,原方程有实数根.评注:解法一是常规解法,解法二利用了变换的观点,通过函数思想来解方程.函数与方程是数学中两个重要的概念,在解决数学问题时,如能灵活运用,将使解答具有创造性.【例4】某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室.如图所示,ABCD是一块边长为50m的正方形地皮,扇形CEF是运动场的一部分,其半径为40m,矩形AGHM就是拟建的健身室,其中G、M分别在AB和AD上,H在上.设矩形AGHM的面积为S,∠HCF=θ,请将S表示为θ的函数,并指出当点H在的何处时,该健身室的面积最大,最大面积是多少?...