高考数学大二轮复习 冲刺经典专题 高难拉分攻坚特训（四）文-人教版高三全册数学试题VIP免费

高难拉分攻坚特训(四)1．设数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＋an＝2n＋1，且Sn＝1350.若a2<2，则n的最大值为()A．51B．52C．53D．54答案A解析因为an＋1＋an＝2n＋1①，所以an＋2＋an＋1＝2(n＋1)＋1＝2n＋3②，②－①得an＋2－an＝2，且a2n－1＋a2n＝2(2n－1)＋1＝4n－1，所以数列{an}的奇数项构成以a1为首项，2为公差的等差数列，数列{an}的偶数项构成以a2为首项，2为公差的等差数列，数列{a2n－1＋a2n}是以4为公差的等差数列，所以Sn＝当n为偶数时，＝1350，无解(因为50×51＝2550,52×53＝2756，所以接下来不会有相邻两数之积为2700)．当n为奇数时，＋(a1－1)＝1350，a1＝1351－，因为a2<2，所以3－a1<2，所以a1>1，所以1351－>1，所以n(n＋1)<2700，又n∈N*,51×52＝2652，所以n≤51，故选A.2．底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面多边形中心的棱锥为正棱锥，则半径为2的球的内接正四棱锥的体积最大值为________．答案解析因为正四棱锥内接于球内，且欲使正四棱锥的体积最大，则球的球心在正四棱锥的高上，如图所示，其中球的球心为E点，设BC＝a，则BO＝a，在Rt△EOB中，则有EO2＋OB2＝EB2，故EO＝，正四棱锥的高为2＋，正四棱锥的体积为V＝×a2×，令x＝，x∈(0,2)，则V(x)＝×(8－2x2)×(2＋x)，即V(x)＝×(－2x3－4x2＋8x＋16)，对V(x)求导得，V′(x)＝×(－6x2－8x＋8)，令V′(x)＝0，即－6x2－8x＋8＝0，解得x＝或x＝－2(舍去)，当x∈时，V′(x)>0，V(x)单调递增，当x∈时，V′(x)<0，V(x)单调递减，故当x＝时，V(x)max＝.3．已知F是抛物线C：x2＝2py，p>0的焦点，G，H是抛物线C上不同的两点，且|GF|＋|HF|＝3，线段GH的中点到x轴的距离为.点P(0,4)，Q(0,8)，曲线D上的点M满足MP·MQ＝0.(1)求抛物线C和曲线D的方程；(2)是否存在直线l：y＝kx＋m分别与抛物线C相交于点A，B(A在B的左侧)、与曲线D相交于点S，T(S在T的左侧)，使得△OAT与△OBS的面积相等？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．解(1)由抛物线定义知＋＝，得p＝，故抛物线的方程为x2＝y.由MP·MQ＝0得点M的轨迹D是以PQ为直径的圆，其方程为x2＋(y－6)2＝4.(2)由△OAT与△OBS的面积相等得|AT|＝|BS|，则|AS|＝|BT|，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，S(x3，y3)，T(x4，y4)，由AS＝(x3－x1，y3－y1)，TB＝(x2－x4，y2－y4)，且AS＝TB得x3－x1＝x2－x4，即x1＋x2＝x4＋x3.(ⅰ)当直线l的斜率为0时，l的方程为y＝m，此时只需点(0，m)在圆D内即可，此时40，①且x1＋x2＝k.由方程组得(1＋k2)x2＋2k(m－6)x＋(m－6)2－4＝0，直线l与圆D交于S，T两点，所以圆心D(0,6)到直线l的距离d＝0，∴－20时，若x∈(0，a)，则f′(x)<0，f(x)单调递减；若x∈(a，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)单调递增．∴f(x)在(0，＋∞)上有最小值f(a)＝lna＋a＝lna＋1－a.由题意f(x)≥0，∴lna＋1－a≥0.令g(x)＝lnx－x＋1，∴g′(x)＝－1＝.当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减．∴g(x)在(0，＋∞)上有最大值g(1)＝0.∴g(x)＝lnx－x＋1≤0.∴lna－a＋1≤0.∴lna－a＋1＝0，∴a＝1，综上，当f(x)≥0时，实数a的取值的集合为{1}．(2)证明：当a＝0时，f(x)＝lnx，则＝＝.由(1)，可知lnx＋－1≥0.∴lnx≥1－(当且仅当x＝1时取等号)．①∵x2>x1>0，∴>1.∴ln>1－＝，∴>.∵当x>1时，有lnx1，∴ln<－1＝.∴<.综上所述，有>>>0，∴x1