专题15抛物线得分点1抛物线的定义与标准方程【背一背基础知识】1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点和一条定直线（点不在直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：（其中为点到准线的距离）．2．抛物线的标准方程图形标准方程的几何意义：焦点到准线的距离【讲一讲基本技能】1．必备技能：（1）抛物线是历年高考的重点，在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外，还常常与函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等；（2）求抛物线的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考．“定形”就是指抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定抛物线的焦点在x轴的正半轴、负半轴上，还是在y轴的正半轴、负半轴上．“定式”就是根据“形”设出抛物线的具体形式，若焦点在x轴正半轴上，则设方程为；若焦点在x轴负半轴上，则设方程为；若焦点在y轴正半轴上，则设方程为；若焦点在y轴负半轴上，则设方程为．“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数．2．典型例题例1设抛物线的顶点在原点，准线方程，则抛物线的方程是()A．B．C．D．分析：由已知及抛物线的几何性质知所求抛物线的焦点在轴正半轴上且，从而可写出抛物线的方程．解析：由准线方程，顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线焦点为；②该抛物线的焦准距故所求抛物线方程为．例2已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝()A．1B．C．2D．3分析：由双曲线离心率求得其渐近线方程，从而求得交点A，B的坐标，即可得到三角形面积表达式，从而得到p的值．例3已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．分析：由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题．解析：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±． >2，∴A在抛物线内部．如图，设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．【名师点评】涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．例4已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8．(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．分析：(1)利用曲线方程的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；(2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系．解析：(1)如图①，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|．当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝．又|O1A|＝，∴＝．化简得，y2＝8x(x≠0)．当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x．(2)证明：如图②，由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0．其中Δ＝－32kb＋64>0．由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①x1x2＝．② x轴是∠PBQ的角平分线，∴＝－，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，∴(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，∴2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③将①②代入③并整理得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b．此时Δ>0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．【名师总结】解圆锥曲线中的定点、定值问题可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定值、定点问题的选择题或填空题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等．【练一练趁热打铁】1．已知F是抛...
