幂函数性质的应用幂函数是重要的基本初等函数模型之一，它具有如下性质：（1）幂函数在上有定义，并且图象过定点；（2）如果，则幂函数的图象过定点和，并且在区间上为增函数；（3）如果，则幂函数的图象过定点，并且在区间上为减函数；在第一象限内，当趋向于原点时，图象在轴右方并无限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上方并无限地逼近轴；（4）设互质，，。①当为奇数，为偶数时，函数为非奇非偶函数，函数在其它象限无图象，只在第一象限内有图象；②当为偶数，为奇数时，函数为偶函数，图象在第一、二象限，且关于轴对称；③当、均为奇数时，函数为奇函数，图象在第一、三象限，且关于对称。利用上述性质，可以解决许多有关幂函数问题。下面举例说明。一、比较大小例1比较下列各组中两个值的大小：（1），；（2），。解析：题中两组值都是幂运算的结果，且指数相同，因此可以利用幂函数的性质来判断它们的大小。（1）因为幂函数在上为增函数，又，所以；（2）因为幂函数在上为减函数，又，所以。点评：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较。例2比较，，的大小。用心爱心专心解析：，，。因为幂函数在上单调递减，且，所以，所以。点评：当幂指数不同时可先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小。二、求函数解析式例3已知幂函数的图象与轴，轴都无交点，且关于轴对称，试确定函数的解析式。解析：因为的图象与轴，轴都无交点，所以，即。又，所以。当时，，是奇函数，不合题意，舍去；当时，，是偶函数，图象关于轴对称，符合题意。故所求幂函数为。点评：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄清幂函数的定义和性质是关键。三、讨论函数性质例4讨论函数（）的定义域、奇偶性和单调性。解析：（1）因为，所以是正偶数，所以是正奇数，所以函数的定义域为。（2）因为是正奇数，所以，所以在上是奇函数。用心爱心专心（3）因为，所以，又是正奇数，所以函数在上单调递增。点评：函数的性质是解决函数问题的基础，应掌握五个常用的幂函数：，，，，的性质。四、画函数图象例5已知幂函数（）的图象与、轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出函数图象。解析：因为幂函数（）的图象与、轴都无交点，所以，即。又，所以。因为幂函数图象关于轴对称，所以或。当时，函数为，图象如图1；当时，函数为（），图象如图2。yox图1y（此点为虚点）1ox图2点评：函数在处没有意义，这点一定不要忽视。五、求参数的取值范围例6已知，求的取值范围。用心爱心专心解析：∵和是幂函数的两个函数值，且是上的增函数，∴，解得。故的取值范围是。点评：本题是利用幂函数的单调性确定的参数的取值范围。用心爱心专心
