第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式1.已知cos＝，则cos2θ＝________．答案：－解析：＝cos＝－sinθ，即sinθ＝－，所以cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2＝－.2.设sin＝，则sin2θ＝________．答案：－解析：sin＝(sinθ＋cosθ)＝，将上式两边平方，得(1＋sin2θ)＝，∴sin2θ＝－.3.已知<α<π，3sin2α＝2cosα，则cos(α－π)＝________．答案：－解析：由3sin2α＝2cosα，得6sinαcosα＝2cosα.由<α<π，得cosα≠0，sinα＝，cos(α－π)＝－cosα＝－＝－.4.若＝－，则sinα＋cosα＝________．答案：解析：＝＝＝－2cos＝－2(sinα＋cosα)＝－(sinα＋cosα)＝－.所以sinα＋cosα＝.5.已知sin＝，则cos＝________．答案：－解析：由题意知sin＝cos＝，cos＝cos2＝2cos2－1＝－.6.函数y＝sincosx的最小值是________．答案：－解析：y＝sincosx＝(sinxcos－cosxsin)cosx＝sinxcosx－cos2x＝sin2x－＝sin－，最小值为－－＝－.7.若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα＝________．答案：解析：由sin2α＋cos2α＝sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝，得cos2α＝.又α∈，所以cosα＝，tanα＝.8.已知＝1，tan(β－α)＝－，则tan(β－2α)＝________．答案：－1解析：由＝1，得＝1，∴tanα＝，从而tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝＝＝－1.9.化简：.解：原式＝＝＝＝＝cos2x.10.设函数f(x)＝－sin2ωx－sinωxcosωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝－sin2ωx－sinωxcosωx＝－·－sin2ωx＝cos2ωx－sin2ωx＝－sin.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又ω＞0，所以＝4×.因此ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin.当π≤x≤时，≤2x－≤.所以－≤sin≤1.因此－1≤f(x)≤.故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.11.(2013·南京三模)已知α、β∈(0，π)，且tanα＝2，cosβ＝－.(1)求cos2α的值；(2)求2α－β的值解：(1)(解法1)因为tanα＝2，所以＝2，即sinα＝2cosα.又sin2α＋cos2α＝1，解得sin2α＝，cos2α＝.所以cos2α＝cos2α－sin2α＝－.(解法2)因为cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，又tanα＝2，所以cos2α＝＝－.(2)(解法1)因为α∈(0，π)，且tanα＝2，所以α∈.又cos2α＝－＜0，故2α∈，sin2α＝.由cosβ＝－，β∈(0，π)，得sinβ＝，β∈.所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝×－×＝－.又2α－β∈，所以2α－β＝－.(解法2)因为α∈(0，π)，且tanα＝2，所以α∈，tan2α＝＝－.从而2α∈.由cosβ＝－，β∈(0，π)，得sinβ＝，β∈，因为tanβ＝－，所以tan(2α－β)＝＝＝－1.又2α－β∈，所以2α－β＝－.
