课时限时检测(二十四)正弦定理、余弦定理的应用举例(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难测量距离问题1,4,710测量高度问题2,86测量角度问题59综合应用311,12一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为()A．10kmB．10kmC．10kmD．10km【解析】由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝100＋400－2×10×20×＝700，∴AC＝10.【答案】D2．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为()图3－8－9A．10mB．20mC．20mD．40m【解析】设电视塔的高度为xm，则BC＝x，BD＝x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40m.【答案】D3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里【解析】如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/小时)．1【答案】C4．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是()图3－8－10A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里【解析】由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得BC＝×sin30°＝10.【答案】A5．(2014·南昌模拟)如图3－8－11所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为()图3－8－11A.B.C.D.【解析】连接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos120°＝700，∴BC＝10，再由正弦定理，得＝，∴sinθ＝.【答案】A6．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m(如图3－8－12所示)，则旗杆的高度为()图3－8－12A．10mB．30m2C．10mD．10m【解析】如图，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°.由正弦定理得＝，所以BC＝20×＝20(m)，在Rt△CBD中，CD＝BCsin60°＝20×＝30(m)．【答案】B二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为________km.【解析】如图，由已知得∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，即32＝22＋x2－2×2xcos120°即x2＋2x－5＝0，解得x＝－1.【答案】－18．(2014·长沙模拟)如图3－8－13，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.图3－8－13【解析】设AB＝h，在△ABC中tan60°＝，∴BC＝h，在△BCD中，∠DBC＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得＝，即＝，解得h＝15.【答案】159．(2014·昌平模拟)如图3－8－14所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面3米，某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．图3－8－14【解析】过C作CF⊥AB于点F，设∠ACB＝α，∠BCF＝β.由已知得AB＝－＝5(米)，BF＝－＝4(米)，AF＝－＝9(米)．则tan(α＋β)＝＝，tanβ＝＝，∴tanα＝[(α＋β)－β]＝＝＝≤＝.当且仅当FC＝，即FC＝6时，tanα取得最大值，...
