高二数学合情推理与演绎推理（文）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：合情推理与演绎推理二.重点、难点：1.归纳推理：由某类事物的部分对象具有某种特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理。2.类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。3.合情推理：经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。4.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。5.总结：（1）归纳推理：由个别到一般（2）类比推理：由特殊到特殊（3）合情推理：猜想（不一定正确）（4）演绎推理：由一般到特殊【典型例题】[例1]在数列中，，试猜想这个数列的通项公式。分析：根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项。解：中，，……∴的通项公式[例2]顺次计算数列：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，……的前4项的值，由此猜测：结果。解：1=121+2+1=4=221+2+3+2+1=9=321+2+3+4+3+2+1=16=42从而猜想：[例3]已知（n=1、2、……），，试归纳这个数列的通项公式。解：[例4]在中，若∠C=90°，则，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想。分析：考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体P—ABC，且三个面与面ABC所成的二面角分别是。解：如图，在中，于是把结论类比到四面体P—ABC中，我们猜想，三棱锥P—ABC中，若三个侧面PAB、PBC、PCA两两互相垂直且分别与底面所成的角为。由此可猜想出四面体性质为：[例5]已知：；。通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：=（*）并给出（*）式的证明。一般形式：证明：左边右边∴原式得证（将一般形式写成等均正确）[例6]△DEF中有余弦定理：。拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC—A1B1C1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。分析：根据类比猜想得出其中为侧面为ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角证明：作斜三棱柱ABC—A1B1C1的直截面DEF，则∠DFE为面ABB1A1与面BCC1B1所成角△DEF中有余弦定理：同乘以，得即[例7]把下列演绎推理写成“二段论”的形式。（1）三角函数都是周期函数，是三角函数，所以是周期函数。（2）一切奇数都不能被2整除，（2100+1）是奇数，所以（2100+1）不能被2整除。解：（1）三角函数都是周期函数（大前提）是三角函数（小前提）∴是周期函数（结论）（2）一切奇数都不能被2整除（大前提）（2100+1）是奇数（小前提）∴（2100+1）不能被2整除（结论）[例8]用三段论证明：三角形内角和等于180°。证明： 平角等于180°（大前提）在△ABC中延长BC至E，作CD//AB，则∠A=∠ACD，∠B=∠DCE∴∠A+∠B+∠C=∠ACB+∠ACD+∠DCE ∠ACB+∠ACD+∠DCE为平角（小前提）∴∠A+∠B+∠C=180°[例9]已知实数p满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明。由解得，所以，方程的判别式，因为，所以，所以△<0，因此得方程无实根。[例10]设，求证：。证明： ∴∴∴∴当且仅当时等号成立，所以[例11]已知是各项均为正数的等差数列，成等差数列，又，证明：为等比数列。因为成等差数列，所以即设等差数列的公差为d，则所以从而若d=0，则为常数列，相应也是常数列，此时是以首项为正数，公比为1的等比数列若，则这时是首项为，公比为的等比数列。所以综上知为等比数列。[例12]如图所示为三个拼在一起的正方形，求证：。证明： ∴，又 ∴[例13]求证函数是奇数，且在定义域上是增函数。证明：（1） ，定义域为x∈R∴即∴是奇函数（2）任取，且则 ∴，从而∴，故f（x）为增函数【模拟试题】1.由数列1，10，100，1000，……猜测该数列的第n项可能是（）A.B.C.D.2.－1，3，－7，15，（），63，……，括号中的数字应为（）A.33B.－31C.－27D.－573.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，……的第1000项是（）A.42B.45C.48D.514.类比平面内正三角形的“三边相等，三...
