第13讲：数形结合思想情形之18-21【知识要点】一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、数形结合，是中学数学最重要的思想方法之一.著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数流一体，永远联系切莫分离.”它精辟地阐述了数形结合的重要性，它不仅是一个重要的数学思想，而且是一种重要的解题方法.因而数形结合的能力必然是历年高考的一个重点.所谓数形结合的思想方法，就是由数学问题所呈现的条件和结论，通过研究数式的几何意义，或者研究几何问题的代数意义，设法沟通数学问题在数量关系和空间形式的内在联系，使隐含条件明朗化，复杂问题简单化，抽象问题具体化，开拓题目新思路，以便最终找到解决问题的带有数形信息转换特征的数学方法.数形结合思想就是把“数”和它对应的“形”联系起来分析解答数学问题，以形助数，以数解形，数形互助，提高解题效率，优化解题.高中数学中数形结合的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、数形结合要注意三个原则：等价性原则、双向性原则、简单性原则.四、本讲讲了数形结合思想情形之18-21,情形18：直线参数方程中，直线上的点在定点上方时，表示和两点间的距离,直线上的点在定点下方时，表示和两点间的距离的相反数,当直线上的点和定点重合时，；情形19：函数的零点为表示函数的图像与轴交点的横坐标为；情形20：表示在方向上的投影；情形21：表示曲线上动点到极点的距离.【方法讲评】数形结合情形十八数形直线参数方程中的.直线上的点在定点上方时，表示A和P两点间的距离,直线上的点在定点下方时，表示A和P两点间的距离的相反数,当直线上的点C和定点重合时，.表示直线上两点之间的距离.【例1】在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，斜率为.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，求的值.即（为参数）（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，【点评】（1）利用直线的参数方程解题时，首先要理解直线参数方程中的几何意义.直线上的点在定点上方时，表示和两点间的距离,直线上的点在定点下方时，表示和两点间的距离的相反数,当直线上的点C和定点重合时，.（2）为了确定参数的几何意义，所以一般要先画图，确定动点与定点的上下位置关系，但是并不是每题都要画图，本题中不需要画图，也不需要画图.（3）直线和曲线相交产生的弦长，可以作为公式记下来直接使用.【反馈检测1】在极坐标系中，曲线，曲线.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求的直角坐标方程；（2）与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值.数形结合情形十九数形函数的零点为函数的零点为表示函数的图像与轴交点的横坐标为.函数有个零点函数有个零点表示函数的图像与轴有个交点.【例2】（2016年北京高考文科）设函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.令，得，解得或．与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在，，，使得．由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．（3）当时，，，此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．当时，只有一个零点，记作．当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递增．因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．【点评】（1）本题的第2问是用数形结合解答的，只要...
