44矩阵与变换1．求将曲线y2＝x绕原点逆时针旋转90°后所得的曲线方程．解由题意得旋转变换矩阵M＝＝，设P(x0，y0)为曲线y2＝x上任意一点，变换后变为另一点(x，y)，则＝，即所以又因为点P在曲线y2＝x上，所以y＝x0，故(－x)2＝y，即y＝x2为所求的曲线方程．2．在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积，其中M＝，N＝.解由在矩阵线性变换下的几何意义可知，在矩阵N＝作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90°得到的图形；在矩阵M＝作用下，一个图形变换为与之关于直线y＝x对称的图形，因此，△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等，从而其面积等于△ABC的面积，即为1.3．(2013·福建)已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.(1)求实数a，b的值；(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且A＝，求点P的坐标．解(1)设直线l：ax＋y＝1上任意点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M′(x′，y′)．由＝＝，得又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，即x＋(b＋2)y＝1，依题意得解得(2)由A＝，得解得y0＝0.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.故点P的坐标为(1,0)．4．已知在二阶矩阵M对应变换的作用下，四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′，其中A(1,1)，B(－1,1)，C(－1，－1)，A′(3，－3)，B′(1,1)，D′(－1，－1)．(1)求出矩阵M；(2)确定点D及点C′的坐标．解(1)设M＝，则有＝，＝，故解得∴M＝.(2)由＝，知C′(－3,3)，由＝，知D(1，－1)．5．设A＝，问A是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵．解设A＝是可逆的，其逆矩阵B＝，那么应该有BA＝AB＝E，即＝，①＝.②由①得④×3－③×1得(2×2－4×1)y＝－1，即0y＝－1，这说明上面的方程组无解．从而，不存在矩阵B使得BA＝AB＝E，所以，矩阵A＝不可逆．6．(2013·江苏)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.解设矩阵A的逆矩阵A－1＝，则＝，即＝故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，从而A的逆矩阵A－1＝，所以A－1B＝＝.7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．设k为非零实数，矩阵M＝，N＝，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC的面积的2倍，求k的值．解由题设得MN＝＝.由＝，＝，＝，可知A1(0,0)，B1(0，－2)，C1(k，－2)．计算得△ABC的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，由题设知|k|＝2×1＝2，所以k的值为－2或2.8．给定矩阵A＝，B＝.(1)求A的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2；(2)求A4B.解(1)设A的一个特征值为λ，由题意知＝0，(λ－2)(λ－3)＝0，λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，由＝2，得A的属于特征值2的特征向量为α1＝，当λ2＝3时，由＝3，得A的属于特征值3的特征向量为α2＝.(2)由于B＝＝2＋＝2α1＋α2，故A4B＝A4(2α1＋α2)＝2(24α1)＋(34α2)＝32α1＋81α2＝＋＝.9．已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．解(1)设M＝，则＝8＝，故＝，故联立以上两方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故M＝.(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M的另一个特征向量是e2＝，则Me2＝＝2，解得2x＋y＝0.(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x′，y′)，则＝，即x＝x′－y′，y＝－x′＋y′，代入直线l的方程后并化简得x′－y′＋2＝0，即x－y＋2＝0.10．已知曲线C：y2＝2x，在矩阵M＝对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵N＝对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程．解设A＝NM，则A＝＝，设P(x′，y′)是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线C2上的对应的点为P(x，y)，则＝＝，即∴又点P(x′，y′)在曲线C：y2＝2x上，∴(－x)2＝2y，即y＝x2.11．设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.(1)求实数a，b的值；(2)求A2...
