第二节函数的单调性与最值【最新考纲】1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x10，则函数f(x)在区间D上是增函数．()(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(3)函数y＝|x|是R上的增函数．()(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则()A．a＝－2B．a＝2C．a≤－2D．a≥2解析：二次函数的对称轴方程为x＝－，由题意知－≥1，即a≤－2.答案：C3．在下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)解析：显然y＝是(0，＋∞)上的增函数；y＝(x－1)2在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；y＝2－x＝()x在x∈R上是减函数；y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数．答案：A4．(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0，1)上是增函数B．奇函数，且在(0，1)上是减函数C．偶函数，且在(0，1)上是增函数D．偶函数，且在(0，1)上是减函数解析：易知f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数，又y＝ln(1＋x)与y＝－ln(1－x)在(0，1)上是增函数，所以f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(0，1)上是增函数．答案：A5．(2016·衡水模拟)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是______________．解析：作出函数y＝h(x)的图象(如图实线部分．)可知当x＝2时，h(x)有最大值1.答案：1一个防范单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结．二条结论1．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．2．开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．一、选择题1．下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调增函数是()A．f(x)＝B．f(x)＝2－xC．f(x)＝lnxD．f(x)＝3x解析： f(x＋y)＝f(x)f(x)∴函数y＝f(x)为指数函数模型．又y＝f(x)为定义域上的增函数．因此只有f(x)＝3x满足条件．答案：D2．若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1，0)B．(－1，0)∪(0，1)C．(0，1)D．(0，1]解析： f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1，2]上是减函数，∴a≤1.①又g(x)＝(a＋1)1－x在[1，2]上是减函数．∴a＋1＞1，∴a＞0.②由①②知，0＜a≤1.答案：D3．定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最值等于()A．－1B．1C．6D．12解析：根据新运算“⊕”的定义，当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2所以f(...
