函数与方程1．(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(D)A．y＝lnxB．y＝x2＋1C．y＝sinxD．y＝cosxA是非奇非偶函数，故排除；B是偶函数，但没有零点，故排除；C是奇函数，故排除；y＝cosx是偶函数，且有无数个零点．故选D.2．(2018·河南模拟)已知3是函数f(x)＝的一个零点，则f[f(6)]的值是(A)A．4B．3C．2D．log34由题意log3(3＋m)＝0，所以m＝－2.所以f[f(6)]＝f(log34)＝3log34＝4，选A.3．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]．若x0是函数f(x)＝lnx－的零点，则g(x0)等于(B)A．1B．2C．3D．4由于f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－>0，所以x0∈(2,3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.4．(2018·潍坊期中)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m恰有一个零点，则实数m的取值范围是(D)A．[0,1]B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，0]∪(1，＋∞)D．(－∞，0)∪[1，＋∞)画出函数y＝f(x)的图象，如下图所示．由题知y＝m与函数y＝f(x)的图象有一个交点，由图象知，m<0或m≥1，故选D.5．求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根，取区间的中点x0＝2.5，那么下一个有根的区间是[2,2.5].设f(x)＝x3－2x－5，f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)＝5.625>0，所以f(x)＝0的下一个有根的区间为[2,2.5]．6．已知函数f(x)＝lnx＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝5.因为f(2)＝ln2＋6－8＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋9－8＝ln3＋1>0，且函数f(x)＝lnx＋3x－8在(0，＋∞)上为增函数，所以x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3，所以a＋b＝5.7．设二次函数f(x)＝x2＋ax＋a，方程f(x)－x＝0的两根为x1和x2.(1)若x1∈(－1,0)，x2∈(1,2)，求实数a的取值范围；(2)若满足00)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得函数F(x)＝g(x)－f(x)有两个不同的零点．(1)因为g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域为[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．即m的取值范围为[2e，＋∞)．(2)函数F(x)＝g(x)－f(x)有两个不同的零点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋(x>0)的图象．因为f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．所以m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
