高考大题纵横练(一)1.(2016·山东)设f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.解(1)f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2=2sin2x-(1-2sinxcosx)=(1-cos2x)+sin2x-1=sin2x-cos2x+-1=2sin+-1.由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).(2)由(1)知f(x)=2sin+-1,把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变).得到y=2sin+-1的图象.再把得到的图象向左平移个单位,得到y=2sinx+-1的图象,即g(x)=2sinx+-1.所以g=2sin+-1=.2.(2016·天津)某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和均值.解(1)由已知,有P(A)==.所以事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.所以随机变量X的分布列为X012P随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=1.3.(2016·浙江)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD;(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.(1)证明延长AD,BE,CF相交于一点K,如图(1)所示.图(1)因为平面BCFE⊥平面ABC,平面BCFE∩平面ABC=BC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCFE,因此BF⊥AC.又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK,且CK∩AC=C,所以BF⊥平面ACFD.(2)解方法一如图(1)所示,过点F作FQ⊥AK于Q,连接BQ.因为BF⊥平面ACFD,所以BF⊥AK,则AK⊥平面BQF,所以BQ⊥AK.所以∠BQF是二面角B-AD-F的平面角.在Rt△ACK中,AC=3,CK=2,得FQ=.在Rt△BQF中,FQ=,BF=,得cos∠BQF=.所以二面角B-AD-F的平面角的余弦值为.方法二如图(2)所示,延长AD,BE,CF相交于一点K,则△BCK为等边三角形.图(2)取BC的中点O,连接KO,则KO⊥BC,又平面BCFE⊥平面ABC,所以KO⊥平面ABC.以点O为原点,分别以射线OB,OK的方向为x轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,),A(-1,-3,0),E,F.因此,AC=(0,3,0),AK=(1,3,),AB=(2,3,0).设平面ACFD的法向量为m=(x1,y1,z1),平面ABED的法向量为n=(x2,y2,z2).由得取m=(,0,-1);由得取n=(3,-2,).于是cos〈m,n〉==.所以二面角B-AD-F的平面角的余弦值为.4.设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列{}的前n项和Tn.解(1)由已知,得b7=2,b8=2=4b7,有2=4×2=2.解得d=a8-a7=2.所以Sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.(2)函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-2=(2ln2)(x-a2),它在x轴上的截距为a2-.由题意知,a2-=2-,解得a2=2.所以d=a2-a1=1,从而an=n,bn=2n.所以Tn=+++…++,2Tn=+++…+.因此2Tn-Tn=1+++…+-=2--=.所以Tn=.5.设椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C:x2=4y的焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,且离心率e=,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)若OM·ON=-2,求直线l的方程;(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MN∥AB,求证:为定值.(1)解由题意知,椭圆的一个顶点为(0,),即b=,e==,∴a=2,∴椭圆的方程为+=1.(2)解由题意可知,直线l与椭圆必相交.①当直线斜率不存在时,经检验不合题意.②当斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),且M(x1,y1),N(x2,y2).由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,x1...