高考大题纵横练(一)1．(2016·山东)设f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．解(1)f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2＝2sin2x－(1－2sinxcosx)＝(1－cos2x)＋sin2x－1＝sin2x－cos2x＋－1＝2sin＋－1.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)．得到y＝2sin＋－1的图象．再把得到的图象向左平移个单位，得到y＝2sinx＋－1的图象，即g(x)＝2sinx＋－1.所以g＝2sin＋－1＝.2．(2016·天津)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和均值．解(1)由已知，有P(A)＝＝.所以事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以随机变量X的分布列为X012P随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.3．(2016·浙江)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求二面角B－AD－F的平面角的余弦值．(1)证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图(1)所示．图(1)因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCFE，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK，且CK∩AC＝C，所以BF⊥平面ACFD.(2)解方法一如图(1)所示，过点F作FQ⊥AK于Q，连接BQ.因为BF⊥平面ACFD，所以BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，所以BQ⊥AK.所以∠BQF是二面角B－AD－F的平面角．在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，得FQ＝.在Rt△BQF中，FQ＝，BF＝，得cos∠BQF＝.所以二面角B－AD－F的平面角的余弦值为.方法二如图(2)所示，延长AD，BE，CF相交于一点K，则△BCK为等边三角形．图(2)取BC的中点O，连接KO，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，所以KO⊥平面ABC.以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(1,0,0)，C(－1,0,0)，K(0,0，)，A(－1，－3，0)，E，F.因此，AC＝(0,3,0)，AK＝(1,3，)，AB＝(2,3,0)．设平面ACFD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABED的法向量为n＝(x2，y2，z2)．由得取m＝(，0，－1)；由得取n＝(3，－2，)．于是cos〈m，n〉＝＝.所以二面角B－AD－F的平面角的余弦值为.4．设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列{}的前n项和Tn.解(1)由已知，得b7＝2，b8＝2＝4b7，有2＝4×2＝2.解得d＝a8－a7＝2.所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2＝(2ln2)(x－a2)，它在x轴上的截距为a2－.由题意知，a2－＝2－，解得a2＝2.所以d＝a2－a1＝1，从而an＝n，bn＝2n.所以Tn＝＋＋＋…＋＋，2Tn＝＋＋＋…＋.因此2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.所以Tn＝.5．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C：x2＝4y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，且离心率e＝，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若OM·ON＝－2，求直线l的方程；(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．(1)解由题意知，椭圆的一个顶点为(0，)，即b＝，e＝＝，∴a＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.(2)解由题意可知，直线l与椭圆必相交．①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，x1...
