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高考数学一轮总复习 第七章 立体几何 7.7.1 空间角课时跟踪检测 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考数学一轮总复习 第七章 立体几何 7.7.1 空间角课时跟踪检测 理-人教版高三全册数学试题_第1页
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7.7.1空间角[课时跟踪检测]1.(2017年天津卷)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(1)求证:MN∥平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值;(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.解:如图,以A为原点,分别以AB,AC,AP方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)证明:DE=(0,2,0),DB=(2,0,-2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则即不妨设z=1,可得n=(1,0,1).又MN=(1,2,-1),可得MN·n=0.因为MN⊄平面BDE,所以MN∥平面BDE.(2)易知n1=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n2=(x1,y1,z1)为平面EMN的法向量,则因为EM=(0,-2,-1),MN=(1,2,-1),所以不妨设y1=1,可得n2=(-4,1,-2).因此有cos〈n1,n2〉==-,于是sin〈n1,n2〉=.所以二面角C-EM-N的正弦值为.(3)依题意,设AH=h(0≤h≤4),则H(0,0,h),进而可得NH=(-1,-2,h),BE=(-2,2,2).由已知得|cos〈NH,BE〉|===,整理得10h2-21h+8=0,解得h=或h=.所以线段AH的长为或.2.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明:MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.解:(1)证明:由已知得AM=AD=2.如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.又AD∥BC,故TN綊AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)如图,取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD,且AE===.以A为坐标原点,分别以AE,AD,AP的方向为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N,则PM=(0,2,-4),PN=.设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,则即取z=1可得n=(0,2,1).于是|cos〈n,AN〉|==.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.3.(2018届沈阳市教学质量监测)如图,在长方体AC1中,AD=AB=2,AA1=1,E为D1C1的中点.(1)在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线(不必说明理由);(2)证明:BD1∥平面B1EC;(3)求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值.解:(1)连接BC1交B1C于M,连接ME,则直线ME即为平面ABD1与平面B1EC的交线,如图所示.(2)证明:在长方体AC1中,DA,DC,DD1两两垂直,于是以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,因为AD=AB=2,AA1=1,所以D(0,0,0),A(2,0,0),D1(0,0,1),B(2,2,0),B1(2,2,1),C(0,2,0),E(0,1,1).所以BD1=(-2,-2,1),CB1=(2,0,1),CE=(0,-1,1),设平面B1EC的法向量为m=(x,y,z),所以CB1⊥m,CE⊥m,从而有,即不妨令x=-1,得到平面B1EC的一个法向量为m=(-1,2,2),而BD1·m=2-4+2=0,所以BD1⊥m,又因为BD1⊄平面B1EC,所以BD1∥平面B1EC.(3)由(2)知BA=(0,-2,0),BD1=(-2,-2,1),设平面ABD1的法向量为n=(x1,y1,z1),所以BA⊥n,BD1⊥n,从而有即不妨令x1=1,得到平面ABD1的一个法向量为n=(1,0,2),因为cos〈m,n〉===,所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值为.4.如图1,已知正三角形ABC,以AB,AC为边在同一平面内向外作正三角形ABE与ACD,F为CD中点,分别沿AB,AF将平面ABE,平面ADF折成直二面角,连接EC,CD,如图2所示.(1)求证:CD∥平面ABE;(2)求二面角E-AC-B的余弦值.解:(1)证明:取AB的中点G,连接EG,则EG⊥AB,由题意知二面角C-AB-E为直二面角,∴EG⊥平面ABCF.∵F为CD的中点,AC=AD,∴AF⊥FC,AF⊥FD.又二面角C-AF-D为直二面角,∴DF⊥平面ABCF,∴DF∥EG.由题意知∠BAC=∠ACF=60°,∴CF∥AB,又DF∩CF=F,EG∩AB=G,∴平面CDF∥平面ABE,又CD⊂平面DCF,∴CD∥平面ABE.(2)连接GC,由于AC=BC,所以GC⊥AB于点G,以G为坐标原点,GB,GC,GE所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设△ABC的边长为2,∴GE=GC=,则G(0,0,0),C(0,,0),A(-1,0,0),E(0,0,),B(1,0,0),∴AE=(1,0,),AC=(1,,0),AB=(2,0,0),设平面AEC的一个法向量为m=(x,y,z),则即取x=-,得y=1,z=1,∴m=(-,1,1).同理可知平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),那么cos〈m,n〉===,又二面角E-AC-B为锐角,∴二面角E-AC-B的余弦值为.

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