第19课利用导数研究函数的最(极)值(本课对应学生用书第39-40页)自主学习回归教材1.函数的极值如果在函数y=f(x)的定义域I内存在x0,使得在x0附近的所有点x,都有f(x)f(x0),则称函数y=f(x)在点x=x0处取得极小值,记作y极小值=f(x0).2.求函数极值的步骤:(1)求导数f'(x);(2)求方程f'(x)=0的所有实数根;(3)观察在每个根xn附近,从左到右,导函数f'(x)的符号如何变化:如果f'(x)的符号由正变负,则f(xn)是极大值;如果f'(x)的符号由负变正,那么f(xn)是极小值;如果f'(x)的符号在xn的两侧附近相同,那么xn不是函数f(x)的极值点.3.函数的最值如果在函数f(x)的定义域I内存在x0,使得对于任意的x∈I,都有f(x)≤f(x0),那么称f(x0)为函数的最大值,记作ymax=f(x0);如果在函数f(x)的定义域I内存在x0,使得对于任意的x∈I,都有f(x)≥f(x0),那么称f(x0)为函数的最小值,记作ymin=f(x0).4.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤:(1)求函数f(x)在区间[a,b]上的极值;(2)将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较,得到函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值.1.(选修2-2P31练习1改编)函数y=x2-4x+3在R上有极值,该值的大小为.[答案]小-12.(选修1-1P80习题8改编)函数y=x3-3x+9的极小值是.[答案]7[解析]y'=(x3-3x+9)'=3x2-3=3(x-1)(x+1).1当x∈(-∞,-1)时,y'>0,函数y=x3-3x+9单调递增;当x∈(-1,1)时,y'<0,函数y=x3-3x+9单调递减;当x∈(1,+∞)时,y'>0,函数y=x3-3x+9单调递增.综上,当x=1时,y极小值=7.3.(选修1-1P76习题2改编)函数f(x)=x3+3x2+4x-a的极值点有个.[答案]0[解析]f'(x)=3x2+6x+4=3(x+1)2+1>0,则f(x)在R上单调递增,故不存在极值点.4.(选修1-1P80习题8改编)已知函数y=2x3-3x2-12x+a在区间[0,2]上的最大值为5,那么a的值为.[答案]5[解析]y'=(2x3-3x2-12x+a)'=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),当x∈[0,2]时,y'≤0,由题意得f(0)=5,解得a=5.5.(选修1-1P90习题7改编)已知函数y=3x3-9x+a有两个零点,那么a=.[答案]±6[解析]由y'=9x2-9=0,得x=±1,所以y极小值=a-6,y极大值=a+6.由a-6=0,得a=6,由a+6=0,得a=-6.所以a=±6.2
