考查角度1三角函数中的化简与求值分类透析一化简与求值例1(1)若sinα=-,且α为第三象限角,则tan(45°+α)等于().A.7B.C.1D.0(2)已知sinθ+cosθ=,则sinθ-cosθ的值为.解析(1) α为第三象限角,sinα=-,∴cosα=-,∴tanα=.∴tan(45°+α)==7.(2)将sinθ+cosθ=两边平方得1+2sinθcosθ=,解得2sinθcosθ=.由于0<θ<,故cosθ>sinθ,因此sinθ-cosθ=-=-=-.答案(1)A(2)-方法技巧(1)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;(2)利用同角三角函数的关系化简过程中要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.分类透析二两角和与差公式的应用例2(1)已知tan=,则tanα=.(2)若α∈,sin=-,则cosα=.解析(1)tan===,解得tanα=.(2)因为α∈,所以α+∈.又sin=-,所以cos=,所以cosα=cos=coscos+sinsin=×+×=.答案(1)(2)方法技巧角的变换的方法主要有两种:(1)利用条件角(或特殊角)表示目标角;(2)利用目标角表示条件角.此外,要注意讨论角的范围.分类透析三二倍角公式的应用例3(1)若sin=,则cos的值为().A.-B.-C.D.(2)已知α∈,sinα=,则tan2α=().A.B.C.-D.-解析(1)因为+=,所以-α=-,所以sin=sin=cos+α=,cos=2cos2-1=-1=-.(2) α∈,sinα=,∴cosα=-,∴tanα=-.∴tan2α===-,故选D.答案(1)A(2)D方法技巧常见的互余的角:-α与+α;+α与-α;+α与-α;等等.常见的互补的角:+θ与-θ;+θ与-θ;等等.1.(2018年全国Ⅰ卷,文11改编)已知角θ的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,且终边经过点(a,2a)(a≠0),则cos2θ=().A.-B.-C.D.解析(法一)依题意得tanθ==2,∴cos2θ=cos2θ-sin2θ===-.(法二)cosθ=,∴cos2θ=2cos2θ-1=-1=-.答案B2.(2017年全国Ⅲ卷,文4改编)已知α为第二象限角,sinα+cosα=,则cos2α=.解析因为α为第二象限角,所以2kπ+<α<2kπ+π,k∈Z.又sinα+cosα=>0,所以2kπ+<α<2kπ+,k∈Z,即4kπ+π<2α<4kπ+,k∈Z.将sinα+cosα=两边平方并整理得sin2α=-,所以cos2α=-=-.答案-3.(2016年全国Ⅲ卷,理5改编)已知tanθ=3,则的值是().A.B.-C.D.-解析因为tanθ=3,所以====-,故选B.答案B4.(2016年全国Ⅱ卷,理9改编)已知sin=,则sin=.解析 sin=,∴cos=cos-=sin=.又0<α<,∴<+α<,∴sin===.答案5.(2018年全国Ⅱ卷,理15改编)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α-β)=.解析(法一)将两边平方得①+②得2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,即sin(α+β)=-;①-②得cos2β-cos2α+2(sinαcosβ-cosαsinβ)=1,即-2sin(β+α)sin(β-α)+2sin(α-β)=1.解得sin(α-β)=1.(法二)⇒sin2β+cos2β=1⇒(1-sinα)2+(-cosα)2=1⇒sinα=.故sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=sinα(1-sinα)-cosα(-cosα)=sinα+1-2sin2α=1.(法三:特殊值法)设sinα=cosβ=,则cosα=-,sinβ=,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=1.答案11.(2018届山东省潍坊市三模)在平面直角坐标系中,若角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边经过点P,则sin(π-α)=().A.B.C.-D.-解析由题意得点P,|OP|=1,sin(π-α)=sinα=-.答案C2.(2018贵州遵义高三上学期联考二)若sin=-,且α∈,则sin(π-2α)=().A.-B.-C.D.解析 sin=cosα=-,α∈,∴sinα=.∴sin(π-2α)=sin2α=2sinαcosα=2××=-.故选A.答案A3.(2018届陕西省榆林市模拟)设α∈,若cosα+=,则sinα=().A.B.C.D.解析由题意知sin=,所以sinα=sinα+-=sincos-cossin=,故选D.答案D4.(2018届滁州模拟)已知cos=2cos(π-α),则tan=().A.-4B.4C.-D.解析因为cos=2cos(π-α),所以-sinα=-2cosα⇒tanα=2.所以tan==-,故选C.答案C5.(2018届广东深圳市调研)在平面直角坐标系中,直线y=x与圆O:x2+y2=1交于A,B两点,角α,β的顶点是坐标原点,始边是x轴的非负半轴,终边分别在射线OA,OB上,则tan(α+β)的值为().A.-2B.-C.0D.2解析由题意得tanα=,tanβ=tan(π+α)=tanα=,则tan(α+β)=tan2α==-2.答案A6.(2018届广东潮州模拟)若=-,则sinα+的值为().A.B.-C.D.-解析因为==-(sinα+cosα)=-,即-sin=-,所以sin=.答案C7.(2018届耀华中学模拟)设α与β均为锐角,且cosα=,sin(α+β)=,则cosβ的值为().A.B.C.或D.或解析 α,β是锐角,且cosα=,∴<α<,sinα=.又sin(α+β...
