双曲线的第二定义观察教材第57页例5我们可知双曲线的轨迹还可以用另一种形式给出，这就是双曲线的第二定义，此定义可以快速解决某些双曲线问题，下面对其作简单介绍：一、双曲线的第二定义例1点()Mxy，与定点(0)Fc，的距离和它到定直线2:alxc的距离的比是常数(0)ccaa，求点M的轨迹．解：设d是点M到直线l的距离．根据题意，所求轨迹就是集合MFcPMda|，由此得222()xcycaaxc．化简，得22222222()()caxayaca．设222cab，就可化为22221(00)xyabab，，这是双曲线的标准方程，所以点M的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22ab，的双曲线（如图）．由例1可知，当点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(1)ceea时，这个点的轨迹是双曲线．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．对于双曲线22221xyab，相应于焦点(0)Fc，的准线方程是2axc，根据双曲线的对称性，相应于焦点(0)Fc，的准线方程是2axc，所以双曲线有两条准线．二、第二定义的应用例2一动点到定直线3x的距离是它到定点(40)F，的距离的12，求这个动点的轨迹方程．误：由题意知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为2，所以动点的轨迹是双曲线．又(40)F，∵，4c∴．用心爱心专心∵准线3x，23ac∴，即22124ab，．故双曲线方程为2211214xy．析：错解中误认为曲线中心为原点．仅由焦点（即定点）(40)F，和准线（定直线）方程3x，不能得出4c及23ac．正：由题设知离心率2e，又定点(40)F，与定直线3x是双曲线相应的右焦点与右准线，所以2ca，21acc，解得2433ac，．所以双曲线中心为803O，．又243b，故双曲线方程为22(38)3144xy．评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线，同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．用心爱心专心
