课时分层作业(九)平面向量数量积的坐标表示(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，且(a＋c)⊥(a－b)，则m＝()A．3＋B．3－C．3±D．－3±C[ a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，∴a＋c＝(1＋m，m)，a－b＝(－1，m－5)， (a＋c)⊥(a－b)，∴－1－m＋m(m－5)＝m2－6m－1＝0，解得：m＝3±.]2．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于()A．23B．57C．63D．83D[因为|a|2＝(－4)2＋32＝25，a·b＝(－4)×5＋3×6＝－2，所以3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83.]3．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)，则sinθ等于()A．B．C．D．A[设b＝(x，y)，则a＋3b＝(2＋3x,1＋3y)＝(5,4)，所以解得即b＝(1,1)，所以cosθ＝＝，所以sinθ＝＝.]4．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于()A．(2,1)B．(1,0)C．D．(0，－1)A[设向量c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)，因为(c＋b)⊥a，所以(c＋b)·a＝x＋1－(y＋2)＝x－y－1＝0，因为(c－a)∥b，所以＝，即2x－y－3＝0.由解得所以c＝(2,1)．]5．已知O为坐标原点，向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上有一点P使得AP·BP有最小值，则点P的坐标是()A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)C[设点P的坐标为(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)．AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，所以当x＝3时，AP·BP有最小值1.此时点P的坐标为(3,0)．]二、填空题6．已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，若|a＋b|＝|a－b|，则x＝________.－1或2[已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，因为|a＋b|＝|a－b|，两边平方得到a·b＝0，根据向量的坐标运算公式得x2－x－2＝0，解得x＝－1或2.]7．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为________．19[ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，得k＝19.]8．如图，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a＋b，a－b的夹角余弦值是________．－[不妨设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(2，－1)，b＝(3,2)，所以a＋b＝(5,1)，a－b＝(－1，－3)，所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8，|a＋b|＝，|a－b|＝，所以向量a＋b，a－b的夹角余弦值为＝－.]三、解答题9．已知向量a，b满足|a|＝，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b.(1)求向量a的坐标；(2)求向量a与b的夹角．[解](1)设a＝(x，y)，因为|a|＝，则＝，①又因为b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b，2a＋b＝2(x，y)＋(1，－3)＝(2x＋1,2y－3)，所以(2x＋1,2y－3)·(1，－3)＝2x＋1＋(2y－3)×(－3)＝0，即x－3y＋5＝0，②由①②解得或所以a＝(1,2)或a＝(－2,1)．(2)设向量a与b的夹角为θ，所以cosθ＝＝＝－，或cosθ＝＝＝－，因为0≤θ≤π，所以向量a与b的夹角θ＝.10．在△ABC中，AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．[解] AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，∴BC＝AC－AB＝(－1，k－3)．若∠A＝90°，则AB·AC＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；若∠B＝90°，则AB·BC＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝；若∠C＝90°，则AC·BC＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，∴k＝.综上，k的值为－或或.11．(多选题)已知a＝(1,0)，|b|＝1，c＝(0，－1)，满足3a＋kb＋7c＝0，则实数k的值可能为()A．B．－C．58D．－58AB[由题可得，kb＝－3a－7c＝－3×(1,0)－7×(0，－1)＝(－3,7)，∴|kb|＝|k|·|b|＝＝. |b|＝1，∴k＝±.]12．(多选题)已知△ABC是边长为2a(a＞0)的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则PA·(PB＋PC)的值可能是()A．－2a2B．－a2C．－a2D．－a2BCD[建立如图所示的平面直角坐标系．设P(x，y)，又A(0，a)，B(－a,0)，C(a,0)，则PA＝(－x，a－y)，PB＝(－a－x，－y)，PC＝(a－x，－y)．所以PA·(PB＋PC)＝(－x，a－y)·[(－a－x，－y)＋(a－x，－y)]＝(－x，a－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y2－2ay＝2x2＋2－a2≥－a2.故选BCD．]13．(一题两空)已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)...
