第十二节导数在研究函数中的应用(一)题号1234567答案1.函数y＝x＋xlnx的单调递减区间是()A．(－∞，e－2)B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞)D．(e2，＋∞)答案：B2．已知函数y＝f(x)的图象如下图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是()解析：由函数f(x)的图象看出，在y轴左侧，函数有两个极值点，且先增后减再增，在y轴右侧函数无极值点，且是减函数，根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系可知，导函数在y轴左侧应有两个零点，且导函数值是先正后负再正，在y轴右侧无零点，且导函数值恒负，由此可以断定导函数的图象是A的形状．故选A.答案：A3．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为，则a的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(－1，0)C．(1，＋∞)D．(0，1)解析： y′＝a(3x2－1)＝3a，∴当－＜x＜时，＜0.∴要使y′＜0，必须取a＞0.故选A.答案：A4．(2013·福建教学检查)对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)＜2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)＞2f(1)解析：依题意，当x＞1时，f′(x)≥0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(2)≥f(1)；当x＜1时，f′(x)≤0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，故f(0)≥f(1)，故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故选C.答案：C5．(2013·安徽马鞍山三模)对于实数集R上的可导函数f(x)，若满足(x2－3x＋2)f′(x)＜0，则在区间[1，2]上必有()A．f(1)≤f(x)≤f(2)B．f(x)≤f(1)C．f(x)≥f(2)D．f(x)≤f(1)或f(x)≥f(2)解析：由(x2－3x＋2)f′(x)＜0知，当x2－3x＋2＜0，即1＜x＜2时，f′(x)＞0，所以f(x)是区间[1，2]上的递增函数，所以f(1)≤f(x)≤f(2)．故选A.答案：A6．函数y＝在区间上()A．是减函数B．是增函数C．有极小值D．有极大值答案：C7．(2013·浙江卷)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是()解析：由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢．故选B.答案：B8．已知x＝3是函数f(x)＝alnx＋x2－10x的一个极值点，则实数a＝________．解析：f′(x)＝＋2x－10，由f′(3)＝＋6－10＝0得a＝12，经检验满足题设条件．答案：129．设函数f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a＞1，则f(x)的单调减区间为________．解析：f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，由a＞1知，当x＜2时，f′(x)＞0，故f(x)在区间(－∞，2)上是增函数；当2＜x＜2a时，f′(x)＜0，故f(x)在区间(2，2a)上是减函数；当x＞2a时，f′(x)＞0，故f(x)在区间(2a，＋∞)上是增函数．综上，当a＞1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，在区间(2，2a)上是减函数．答案：(2，2a)10．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．解析： y′＝(n＋1)xn，∴切线斜率为n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．∴xn＝1－＝.∴a1＋a2＋…＋a99＝lgx1＋lgx2＋…＋lgx99＝lg(x1·x2·…·x99)＝lg＝lg＝－2.答案：－211．(2013·大纲全国卷)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．解析：(1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－6x＋3.令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；当x∈(－1，＋1)时，f′(x)＜0，f(x)在(－1，＋1)上是减函数；当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(＋1，＋∞)是增函数；(2)由f(2)≥0得，a≥－.当a≥－，x∈(2，＋∞)时，f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3＝3(x－2)＞0，所以f(x)在(2，＋∞)是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.综上知，a的取值范围是.12．已知函数f(x)＝a－2lnx，a∈R.(1)若a＝1，判断函数f(x)是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝－.至少存在一个x0∈[1，e]，使得f(x0)＞g(x0)成立，求实数a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝x－－2lnx，其定义域...
