2-1-2-1椭圆的简单几何性质综合提升案·核心素养达成[限时40分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．椭圆x2＋6y2＝6的焦点坐标为A．(－1，0)，(1，0)B．(－6，0)，(6，0)C．(－，0)，(，0)D．(0，－)，(0，)解析椭圆的标准方程为＋y2＝1.∴a2＝6，b2＝1.于是c＝＝，又焦点在x轴上，∴焦点坐标为(－，0)，(，0)．答案C2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析由2a＝18，得a＝9.又a－c＝2c，则c＝3.于是b2＝a2－c2＝81－9＝72.故椭圆的方程为＋＝1.答案A3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则A．a2＝25，b2＝16B．a2＝9，b2＝25C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D．a2＝25，b2＝9解析因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.答案D4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是A.B.C.D.解析∵＝2，∴||＝2||.又∵PO∥BF，∴＝＝，即＝，∴e＝＝.答案D5．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为A.B.C.D.解析a2＝2，b2＝m.故c2＝2－m.∴e2＝＝＝.∴m＝.答案D6．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为A.B.C.D.解析解法一将x＝－c代入椭圆方程可解得点P，故|PF1|＝，又在Rt△F1PF2中1∠F1PF2＝60°，所以|PF2|＝，根据椭圆定义得＝2a，从而可得e＝＝.解法二设|F1F2|＝2c，则在Rt△F1PF2中，|PF1|＝c，|PF2|＝c.所以|PF1|＋|PF2|＝2c＝2a，离心率e＝＝.答案B二、填空题(每小题5分，共15分)7．椭圆焦点在x轴上，O为坐标原点，A是一个顶点，F是一个焦点，椭圆长轴长为6，且cos∠OFA＝，椭圆的标准方程是________．解析如图，∵椭圆长轴长为6，∴|AF|＝3，∴cos∠OFA＝＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝5.∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案＋＝18．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0＜e≤，则长轴长的取值范围为________．解析由e2＝＝＝1－，得0＜1－≤，从而－1＜－≤－.于是1＜a2≤4.故1＜a≤2，即2＜2a≤4.答案(2，4]9．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．解析由题意，F(－1，0)，设点P(x0，y0)，则有＋＝1，解得y＝3.因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6.答案6三、解答题(共35分)10．(10分)设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程．解析设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，M(x，y)为椭圆上的点，由＝得a＝2b.|PM|2＝x2＋＝－3＋4b2＋3(－b≤y≤b)，若0，故矛盾．若b≥，则当y＝－时，4b2＋3＝7，b2＝1，从而a2＝4.所求方程为＋y2＝1.11．(10分)已知椭圆的焦点是F1(0，－1)，F2(0，1)，离心率e＝.(1)求椭圆方程；(2)若P是椭圆上的点，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．解析(1)∵c＝1，e＝＝，∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.又椭圆中心在原点，焦点在y轴上，∴椭圆的方程为＋＝1.2(2)由|PF1|＋|PF2|＝2a＝4及|PF1|－|PF2|＝1知|PF1|＝，|PF2|＝，又|F1F2|＝2c＝2，∴cos∠F1PF2＝＝.12．(15分)如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．解析解法一设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，则焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M点的坐标为，△MF1F2为直角三角形．在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋b2＝|MF1|2.而|MF1|＋|MF2|＝＋b＝2a，整理得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以＝.∴e2＝＝＝1－＝，∴e＝.解法二设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则M，代入椭圆方程，得＋＝1，所以＝，所以＝，即e＝.3
