高考数学 不等式的证明(二)新人教版知识精讲VIP免费

不等式的证明(二)【知识点精讲】1.反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。2.换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略3.放缩法：欲证A>B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B,(1b)c>,(1c)a>,则三式相乘：(1a)b•(1b)c•(1c)a>①又∵00，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0证明：（用反证法）设a<0,∵abc>0,∴bc<0又由a+b+c>0,则b+c>a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0此与题设矛盾又若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0用心爱心专心同理可证b>0,c>0例3、已知，求证：中至少有一个不小于。【分析】由于题目的结论是：三个函数值中“至少有一个不小于”，情况较复杂，会出现多个异向不等式组成的不等式组，一一证明十分繁冗，而结论的反面构成三个同向不等式，结构简单，故采用反证法为宜。【证明】（反证法）假设都小于，则，而，相互矛盾∴中至少有一个不小于。[思维点拔]用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样。有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的。例4、（1）设，且，求证：；【证明】（1）设则，=。（2）设，且，用心爱心专心求证：（2）设，∵，∴。于是。[思维点拔]（1）本题运用了三角换元法。三角代换是最常见的变量代换，凡条件为或或等均可三角换元。（2）换元法是不等式证明中的重要变形方法，常用的换元手段除三角换元法外，还有平均值代换、比值代换、对称代换、增量代换。例5、.已知，求证：都属于。【证明】由已知得：，代入中得：∵，∴△≥0，即解得，即y∈。同理可证x∈，z∈。变式：设，且，用心爱心专心求证：因为，而所以，所以a，b为方程（1）的二实根而，故方程（1）有均大于c的二不等实根。记，则解得。4．若a>b>c,则放缩法：[思维点拔]在比较法、综合法无效时，如果能利用主元素法把原式整理成关于某函数的二次式，可考虑用判别式，要注意根的范围和题目本身的条件限制。【课堂小结】3.反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。4.换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。用心爱心专心用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略3.放缩法：欲证A>B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B