课时跟踪训练(十)双曲线的标准方程1．双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．2．已知点F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是△PF1F2的内心，且S△IPF2＝S△IPF1－λS△IF1F2，则λ＝________.3．若方程＋＝1(k∈R)表示双曲线，则k的范围是________．4．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数a＝________.5．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，F2＝(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足1MF�·2MF�＝0，|1MF�|·|2MF�|＝2，则该双曲线的方程是__________．6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆＋＝1的长轴端点为焦点，且经过点P(5，)；(2)过点P1(3，－4)，P2(，5)．7．设F1，F2为双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝120°.求△F1PF2的面积．8．如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．1答案课时跟踪训练(十)1．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设PF1＝11，根据双曲线的定义知|PF1－PF2|＝2a＝10，∴PF2＝1或PF2＝21，而F1F2＝14，∴当PF2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF2＝21.答案：212．解析：设△PF1F2内切圆的半径为r，则由S△IPF2＝S△IPF1－λS△IF1F2⇒×PF2×r＝×PF1×r－λ×F1F2×r⇒PF1－PF2＝λF1F2，根据双曲线的标准方程知2a＝λ·2c，∴λ＝＝.答案：3．解析：依题意可知：(k－3)(k＋3)<0，求得－30，且焦点在x轴上，根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．故实数a＝1.答案：15．解析：∵1MF�·2MF�＝0，∴1MF�⊥2MF�.∴|1MF�|2＋|2MF�|2＝40.∴(|1MF�|－|2MF�|)2＝|1MF�|2－2|1MF�|·|2MF�|＋|2MF�|2＝40－2×2＝36.∴||1MF�|－|2MF�||＝6＝2a，a＝3.又c＝，∴b2＝c2－a2＝1，∴双曲线方程为－y2＝1.答案：－y2＝16．解：(1)因为椭圆＋＝1的长轴端点为A1(－5,0)，A2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF1－PF2|＝|－|＝|－|＝8，即2a＝8，则a＝4.又c＝5，所以b2＝c2－a2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，分别将点P1(3，－4)，P2(，5)代入，得解得故所求双曲线的标准方程为－＝1.7．解：由已知得a＝2，b＝1；c＝＝，由余弦定理得：F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos120°即(2)2＝(PF1－PF2)2＋3PF1·PF2∵|PF1－PF2|＝4.∴PF1·PF2＝.∴S△F1PF2＝PF1·PF2·sin120°＝××＝.28．解：以AB边所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A(－2，0)，B(2，0)．设边BC、AC、AB的长分别为a、b、c，由正弦定理得sinA＝，sinB＝，sinC＝(R为△ABC外接圆的半径)．∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2a＋c＝2b，即b－a＝.从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．∵a＝，c＝2，∴b2＝6.∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)．3
