课后限时集训(二十四)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量AB与向量CD共线，则A，B，C，D四点共线；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.以上命题中正确的个数为()A．1B．2C．3D．0D[对于①，向量可用有向线段表示，但向量不是有向线段，故①错．对于②，当a与b中有一个是0时，a与b的方向不一定相同或相反，故②错．对于③，直线AB与CD也可能平行，故③错．对于④，当b＝0时，a与c不一定平行，故④错．]2．在△ABC中，已知M是BC中点，设CB＝a，CA＝b，则AM＝()A.a－bB.a＋bC．a－bD．a＋bA[AM＝AC＋CM＝－CA＋CB＝－b＋a，故选A.]3．已知AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则下列一定共线的三点是()A．A，B，CB．A，B，DC．B，C，DD．A，C，DB[因为AD＝AB＋BC＋CD＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3AB，又AB，AD有公共点A，所以A，B，D三点共线．]4．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于()A.B.C．－D．－A[ AD＝2DB，即CD－CA＝2(CB－CD)，∴CD＝CA＋CB，∴λ＝.]5．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的一个充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|C[＝⇔a＝⇔a与b共线且同向⇔a＝λb且λ>0.B，D选项中a和b可能反向．A选项中λ<0，不符合λ>0.]二、填空题6．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若A、B、C、D是不共线的四点，则“AB＝DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若λa＝0(λ为实数)，则λ＝0；④若两个向量共线，则其方向必定相同或相反，其中真命题的序号是________．②[对于①，向量a与b的方向可以是任意的，故①错；对于②，由AB＝DC，可得|AB|＝|DC|，且AB∥DC.又A，B，C，D是不共线的四点，因此四边形ABCD为平行四边形，反之也成立，故②正确；对于③，当a＝0，λ＝1时，λa＝0，故③错；对于④，当两个向量有一个零向量时，两个向量的方向不一定相同或相反，故④错．]7．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA，OB，OC，OD满足等式OA＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD的形状为________．平行四边形[由OA＋OC＝OB＋OD得OA－OB＝OD－OC，所以BA＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形．]8．(2019·郑州模拟)在△ABC中，CM＝3MB，AM＝xAB＋yAC，则＝________.3[由CM＝3MB得CM＝CB，所以AM＝AC＋CM＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB＋AC，所以x＝，y＝，因此＝3.]三、解答题9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.[解]AD＝(AB＋AC)＝a＋b.AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.10．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，CD＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．[解](1)证明： AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，∴AC＝AB＋BC＝4e1＋e2＝－(－8e1－2e2)＝－CD，∴AC与CD共线．又 AC与CD有公共点C，∴A，C，D三点共线．(2)AC＝AB＋BC＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2. A，C，D三点共线，∴AC与CD共线，从而存在实数λ使得AC＝λCD，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得解得λ＝，k＝.B组能力提升1．已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1D[因为A，B，C三点共线，所以AB∥AC，设AB＝mAC(m≠0)，所以所以λμ＝1，故选D.]2．如图所示，在△ABC中，AN＝AC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为()A.B.C.D.B[注意到N，P，B三点共线，因此AP＝mAB＋AC＝mAB＋AN，从而m＋＝1⇒m＝.故选B.]3．如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD的n(n∈N且n≥2)等分点中最靠近点D的点，线段AE的延长线交CD于点F，若AF＝xAB＋AD，则x＝________(用含有n的代数式表示)．[依题意与图形得＝＝(n∈N且n≥2)，所以DF＝AB，所以AF＝AD＋DF＝AD＋AB，又因为AF＝xAB＋AD，所以x＝.]4．已知O，A，B是不共线的三点，且O...
