5．离散型随机变量的概率分布1．(2017·南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布与数学期望E(X)．解(1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P＝1－＝.(2)由题意得X～B，P(X＝k)＝Ck·5－k，k＝0,1,2,3,4,5.所以X的概率分布为X012345P所以X的数学期望为E(X)＝5×＝.2．一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率为，购买B种商品的概率为，购买C种商品的概率为.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民至少购买2种商品的概率；(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．解(1)该网民恰好购买2种商品的概率为P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝；该网民恰好购买3种商品的概率为P(ABC)＝××＝，所以P＝＋＝.故该网民至少购买2种商品的概率为.(2)随机变量η的可能取值为0,1,2,3，由(1)知，P(η＝2)＝，P(η＝3)＝，而P(η＝0)＝P()＝××＝，所以P(η＝1)＝1－P(η＝0)－P(η＝2)－P(η＝3)＝.随机变量η的概率分布为η0123P所以随机变量η的数学期望E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.3．(2017·南京学情调研)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响．现由甲先投．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的概率分布与数学期望．解(1)设甲第i次投中获胜的事件为A1(i＝1,2,3)，则A1，A2，A3彼此互斥．甲获胜的事件为A1＋A2＋A3.P(A1)＝，1P(A2)＝××＝，P(A3)＝2×2×＝.所以P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.(2)X的所有可能取值为1,2,3.则P(X＝1)＝＋×＝，P(X＝2)＝＋×××＝，P(X＝3)＝2×2×1＝.即X的概率分布为X123P所以数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝.4．为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的．(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；(2)设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的概率分布和数学期望E(X)．解(1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有43＝64种不同的选法，记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M，事件M共包含A＝24个基本事件，则P(M)＝＝，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为.(2)方法一X可能的取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的概率分布为X0123P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.方法二甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X～B，所以P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3，所以X的概率分布为X0123P所以X的数学期望E(X)＝3×＝.2
