第58讲立体几何的综合问题1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角APBC的余弦值．(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.因为AB∥CD，所以AB⊥PD.又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD.因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为点F.由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD.以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.由(1)及已知可得A(，0，0)，P(0，0，)，B(，1，0)，C(－，1，0)，所以PC＝(－，1，－)，CB＝(，0，0)，PA＝(，0，－)，AB＝(0，1，0)．设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则即所以可取n＝(0，－1，－)．设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则即所以可取m＝(1，0，1)，则cos〈n，m〉＝＝＝－.所以二面角APBC的余弦值为－.2．(2016·全国卷Ⅲ)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.又AD∥BC，AM＝2，故TNAM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝＝＝.以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N(，1，2)，PM＝(0，2，－4)，PN＝(，1，－2)，AN＝(，1，2)．设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n＝(0，2，1)．于是|cos〈n，AN〉|＝＝.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.3．(2018·华南师大附中模拟)在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，AD⊥CD，∠DCF＝60°，CD＝EF＝CF＝2AB＝2AD＝2，平面CDEF⊥平面ABCD.(1)证明：直线CE⊥平面ADF；(2)已知P为棱BC上的点，试确定P点位置，使二面角PDFA的大小为60°.(1)证明：因为CD∥EF，CD＝EF＝CF＝2，所以四边形CDEF为菱形，所以CE⊥DF，因为平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，因为AD⊥CD，所以AD⊥平面CDEF，所以CE⊥AD.又因为AD∩DF＝D，所以直线CE⊥平面ADF.(2)因为∠DCF＝60°，所以△DEF为正三角形，取EF的中点G，连接GD，则GD⊥EF，所以GD⊥CD，因为平面CDEF⊥平面ABCD，GD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，所以GD⊥平面ABCD，因为AD⊥CD，所以DA，DC，DG两两垂直，以D为原点，DA，DC，DG所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图，因为CD＝EF＝CF＝2，AB＝AD＝1，所以E(0，－1，)，F(0，1，)．由(1)知CE＝(0，－3，)是平面ADF的一个法向量，因为DF＝(0，1，)，CB＝(1，－1，0)，设CP＝aCB＝(a，－a，0)(0≤a≤1)，则DP＝DC＋CP＝(a，2－a，0)．设平面PDF的法向量为n＝(x，y，z)，因为所以令y＝a，则x＝(a－2)，z＝－a，所以n＝((a－2)，a，－a)，因为二面角PDFA为60°，所以|cosn，CE|＝＝＝，解得a＝.所以P点靠近B点的CB的三等分点处．4．(2017·广州市一模)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．(1)求证：AB⊥平面ADC；(2)若AD＝1，二面角CABD的平面角的正切值为，求二面角BADE的余弦值．(1)证明：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，又BD⊥DC，所以DC⊥平面ABD.因为AB⊂平面ABD，所以DC⊥AB.又因为折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD＝D，所以AB⊥平面ADC.(2)由(1)知AB⊥平面ADC，所以二面角CABD的平面角为∠CAD.又DC⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，所以DC⊥AD.依题意tan∠CAD＝＝.因为AD＝1，所以CD＝.设AB＝x(x>0)，则BD＝.依题意△ABD∽△DCB，所以＝，即＝.解得x＝，故AB＝，BD＝，BC＝＝3.(方法1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，B(，0,0)，C(0，，0)，E(，，0)，A(，0，)，所以DE＝(，，0)，DA＝(，0...
