第43讲空间向量及其运算[解密考纲]空间向量及其应用的考查以解答题为主，多作为解答题的第二种解法(第一种解法为几何法，第二种解法为向量法)，难度中等．一、选择题1．点M(－8,6,1)关于x轴的对称点的坐标是(A)A．(－8，－6，－1)B．(8，－6，－1)C．(8，－6,1)D．(－8，－6,1)解析结合空间直角坐标中，点关于x轴对称的点的坐标特点知选项A正确．2．O为空间任意一点，若OP＝OA＋OB＋OC，则A，B，C，P四点(B)A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断解析∵OP＝OA＋OB＋OC，且＋＋＝1，∴A，B，C，P四点共面．3．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝(B)A．(0,3，－6)B．(0,6，－20)C．(0,6，－6)D．(6,6，－6)解析∵b＝x－2a，∴x＝4a＋2b即x＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)4．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(B)A．9B．－9C．－3D．3解析由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，所以解得λ＝－9.5．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(C)A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确解析由n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，∵n1和n2不平行，∴α与β不平行；又∵n1·n2＝－6－3－20＝－29≠0，∴α与β不垂直．6．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两夹角均为60°，且|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝3，则|AC1|＝(A)A．5B．6C．4D．8解析由题可得，AC1＝AB＋AD＋AA1，故AC12＝AB2＋AD2＋AA12＋2(AB·AD＋AB·AA1＋AD·AA1)＝1＋4＋9＋2(1×2＋1×3＋2×3)cos60°＝25，故|AC1|＝5.二、填空题7．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为__(0，，)__.解析依题意知，垂足Q为点P在平面yOz上的投影，则点Q的纵、竖坐标与点P的纵、竖坐标相等，横坐标为0.8．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．用AB，AD，AA1表示OC1，则OC11＝__AB＋AD＋AA1__.解析由题意知OC1＝OC＋CC1＝AC＋CC1＝(AB＋AD)＋AA1＝AB＋AD＋AA1.9．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若AP＝2PB，则|PD|＝____.解析设P(x，y，z)，故AP＝(x－1，y－2，z－1)，PB＝(－1－x,3－y,4－z)，又PA＝2PB，则有解得∴P(－，，3)，∴|PD|＝＝.三、解答题10．如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1F⊥C1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：A1F＝A1C1＋A1E.解析(1)E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．(2)证明：∵A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，∴A1F＝(－x，a，－a)，C1E＝(a，x－a，－a)，∴A1F·C1E＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴A1F⊥C1E，∴A1F⊥C1E.(3)证明：∵A1，E，F，C1四点共面，∴A1E，A1C1，A1F共面．选A1E与A1C1为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使A1F＝λ1A1C1＋λ2A1E，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，∴解得λ1＝，λ2＝1.于是A1F＝A1C1＋A1E.11．如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC．证明以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，2∴E，F，EF＝，PB＝(1,0，－1)，PD＝(0,2，－1)，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0)．(1)∵EF＝－AB，∴EF∥AB，即EF∥AB．又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB．(2)∵AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴AP⊥DC，AD⊥DC.即AP⊥DC，AD⊥DC．又AP∩AD＝A，∴DC⊥平面PAD．∵DC⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC．12．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB．若存在，求出点G的坐标；若不存出，试说明理由．解析(1)证明：如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F.EF＝，DC＝(0，a,0)．∵EF·DC＝0，∴EF⊥DC，即EF⊥CD．(2)假设存在满足条件的点G，设G(x,0，z)，则FG＝.若使GF⊥平面PCB，则由FG·CB＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝；由FG·CP＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0.∴G点的坐标为，即存在满足条件的点G，且点G为AD的中点．3
