习题课（一）1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值等于()A．－2B．2C．－D.解析：选C因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋，解得f′(2)＝－.2．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为()A.B.C.D.解析：选A由题意得f′(x)＝x2－x＋c，若函数f(x)有极值，则Δ＝1－4c＞0，解得c＜.3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A．(2,3)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，3)解析：选B因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0，解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．4．已知f(x)＝3x2＋lnx，则lim＝()A．7B.C．21D．－21解析：选C f′(x)＝6x＋，∴lim＝3lim＝3f′(1)＝21，选C.5．函数y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值为()A．eB．1C．－1D．－e解析：选C函数y＝lnx－x的定义域为(0，＋∞)，又y′＝－1＝，令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′>0，函数单调递增；当x∈(1，e)时，y′<0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1，故选C.6．已知函数f(x)＝－x3＋2x2＋2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是()A．[6，＋∞)B．(－∞，2]C．[2,6]D．[5,6]解析：选Cf′(x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6，因为x0∈[0,3]，所以f′(x0)∈[2,6]，又因为切线与直线x＋my－10＝0垂直，所以切线的斜率为m，所以m的取值范围是[2,6]．7．曲线y＝在点M处的切线方程为________．解析： y′＝′＝，∴切线的斜率k＝y′＝－.∴所求切线的方程为y－0＝－，即y＝－x＋1.1答案：y＝－x＋18．(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝________.解析：设x>0，则－x<0. 当x<0时，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax. f(x)是奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，∴f(ln2)＝e－aln2＝(eln2)－a＝2－a.又 f(ln2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.答案：－39．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1＜2＜x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2＜0，解得2＜a＜6.答案：(2,6)10．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2＋4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x－3.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极小值．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x＋4. 曲线在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x－3.∴f(0)＝－3，f′(0)＝2，∴解得(2)由(1)，知f(x)＝ex(x－3)－x2＋4x，f′(x)＝ex(x－2)－2x＋4＝(x－2)(ex－2)．令f′(x)＝0，得x＝ln2或x＝2.∴当x∈(－∞，ln2)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(ln2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，ln2)，(2，＋∞)上单调递增，在(ln2,2)上单调递减．∴当x＝2时，函数f(x)取得极小值，且极小值为f(2)＝4－e2.11．某工厂某种产品的年产量为1000x吨，其中x∈[20,100]，需要投入的成本为C(x)(单位：万元)，当x∈[20,80]时，C(x)＝x2－30x＋500；当x∈(80,100]时，C(x)＝.若每吨商品售价为万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于x的函数关系式；(2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？解：(1)由题意，知L(x)＝1000lnx－C(x)＝(2)当x∈[20,80]时，L′(x)＝－，由L′(x)≥0，得20≤x≤50；由L′(x)≤0，得50≤x≤80，∴L(x)在[20,50]上单调递增，在[50,80]上单调递减，∴当x＝50时，L(x)max＝1000ln50－250；当x∈(80,100]时，L(x)＝1000lnx－单调递增，∴L(x)max＝1000ln100－2000.2 1000ln50－250－(1000ln100－2000)＝1750－1000ln2>1750－1000>0，∴当x＝50，即年产量为50000吨时，利润最大，最大利润为(1000ln50－250)万元．12．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的导函数为h(x)，f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为3x－y＋4＝0，且h′＝0，又直线y＝x...
