第五章平面向量与复数第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.[小题体验]1．(教材习题改编)化简：1(1)(＋)＋＋＝________；(2)＋＋－＝________.答案：(1)(2)02．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.答案：－3.(教材习题改编)如图，设△ABC三条边的中线AD，BE，CF相交于点G，则下列三个向量：①－＋，②＋－，③－－中，等于零向量的是________(填序号)．解析：①中，原式＝＋＋＝0.②中，原式＝＋＋＝－＋＝0.③中，原式＝＋＋＝(＋＋)＝≠0.所以三个向量中等于零向量的是①②.答案：①②1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[小题纠偏]1．已知a，b是任意向量，下列条件中可推得a与b共线的有________(填序号)．①a＝b，②|a|＝|b|，③a与b方向相反，④a＝0或b＝0，⑤a，b都是单位向量．解析：由向量共线的定义知填①③④.答案：①③④2．对于向量a与b，下列说法正确的是________(填序号)．①如果a与b共线，则a＝b或a＝－b；②如果a与b共线，则a与b平行；③如果a与b共线，则存在实数λ，使得a＝λb.解析：a与b共线不能确定其长度关系，故①错误；当a≠0而b＝0时，这样的λ不存在，故③错误；向量平行和共线是相同的概念，故②正确．答案：②3．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.答案：2[题组练透]1．下列说法正确的是________．2①平行向量的方向一定相同；②与任意向量都平行的向量一定是零向量；③相等的向量一定是平行向量；④共线向量一定在同一条直线上.解析：①平行向量的方向也可能相反，所以①错误；②只有零向量与任意向量都平行，所以②正确；③显然正确；④共线向量只要方向相同或相反即可，不一定在同一条直线上，所以④错误．答案：②③2．下列命题中正确的是________．①若a∥b，则|a|＝|b|；②若|a|<|b|，则a
