第18讲不等式选讲1.设不等式0<|x+2|-|1-x|<2的解集为M,a,b∈M.(1)证明:|a+12b|<34;(2)比较|4ab-1|与2|b-a|的大小,并说明理由.2.(2018课标全国Ⅲ,23,10分)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.3.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|x+1|-x.(1)解不等式f(x)>g(x).(2)若存在实数x,使不等式m-g(x)≥f(x)+x(m∈R)能成立,求实数m的最小值.4.(2018开封高三定位考试)已知函数f(x)=|x-m|,m<0.(1)当m=-1时,解不等式f(x)+f(-x)≥2-x;(2)若不等式f(x)+f(2x)<1的解集非空,求m的取值范围.5.(2018郑州第二次质量预测)已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,a∈R.(1)若不等式f(x)+|x-1|≥2对任意的x∈R恒成立,求实数a的取值范围;(2)当a<2时,函数f(x)的最小值为a-1,求实数a的值.6.(2018湘东五校联考)已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.7.(2018太原模拟试题(一))已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|.(1)当m=-1时,求不等式f(x)≤2的解集;(2)若f(x)≤|2x+1|的解集包含[34,2],求m的取值范围.8.已知函数f(x)=4-|x|-|x-3|.(1)求不等式f(x+32)≥0的解集;(2)若p,q,r为正实数,且13p+12q+1r=4,求3p+2q+r的最小值.答案全解全析1.解析(1)证明:记f(x)=|x+2|-|1-x|={-3,x≤-2,2x+1,-2
0,所以|4ab-1|>2|b-a|.2.解析(1)f(x)={-3x,x<-12,x+2,-12≤x<1,3x,x≥1.y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为5.3.解析(1)由题意不等式f(x)>g(x)可化为|x-2|+x>|x+1|,当x<-1时,-(x-2)+x>-(x+1),解得x>-3,即-3x+1,解得x<1,即-1≤x<1;当x>2时,x-2+x>x+1,解得x>3,即x>3,综上所述,不等式f(x)>g(x)的解集为{x|-33}.(2)由不等式m-g(x)≥f(x)+x(m∈R),可得m≥|x-2|+|x+1|,所以m≥(|x-2|+|x+1|)min,因为|x-2|+|x+1|≥|x-2-(x+1)|=3,所以m≥3,故实数m的最小值是3.4.解析(1)设F(x)=|x-1|+|x+1|={-2x(x<-1),2(-1≤x<1),G(x)=2-x,2x(x≥1),由F(x)≥G(x)解得x≤-2或x≥0,∴f(x)+f(-x)≥2-x的解集为{x|x≤-2或x≥0}.(2)f(x)+f(2x)=|x-m|+|2x-m|,m<0.设g(x)=f(x)+f(2x),当x≤m时,g(x)=m-x+m-2x=2m-3x,则g(x)≥-m;当m-m2,解得m>-2,由于m<0,则m的取值范围是(-2,0).5.解析(1)f(x)+|x-1|≥2可化为|x-a2|+|x-1|≥1.∵|x-a2|+|x-1|≥|a2-1|,∴|a2-1|≥1,∴a≤0或a≥4,∴实数a的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞).(2)当a<2时,易知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|的零点分别为a2和1,且a2<1,∴f(x)={-3x+a+1,x1,易知f(x)在(-∞,a2)上单调递减,在(a2,+∞)上单调递增,∴f(x)min=f(a2)=-a2+1=a-1,解得a=43,又43<2,∴a=43.6.解析(1)当a=2时,f(x)+|x-4|={-2x+6,x≤2,2,232时,x+32+x-32≤4,解得x≤2,∴32
