高考数学专题三第1讲知能演练轻松闯关训练题1．(2011·高考江西卷)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝()A．18B．20C．22D．24解析：选B.因为S10＝S11，所以a11＝0.又因为a11＝a1＋10d，所以a1＝20.2．(2012·高考安徽卷)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．8解析：选A.∵a3·a11＝16，∴a＝16.又∵an＞0，∴a7＝4.a5＝a7·q－2＝4×2－2＝1.故选A.3．(2012·东北三校模拟)等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝()A．10B．20C．40D．2＋log25解析：选B.依题意得，a1＋a2＋a3＋…＋a10＝＝5(a5＋a6)＝20，因此有log2(2a1·2a2·…·2a10)＝a1＋a2＋a3＋…＋a10＝20.4．(2012·浙江嘉兴质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，则a10＝()A．64B．32C．16D．8解析：选B.因为an＋1an＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得＝2.又a1a2＝2，a1＝1，所以a2＝2，则···＝24，即a10＝25＝32.5．(2011·高考上海卷)设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是()A．{an}是等比数列B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同解析：选D.∵Ai＝aiai＋1，若{An}为等比数列，则＝＝为常数，即＝，＝，….∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则＝＝q，从而{An}为等比数列．6．(2012·高考课标全国卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.解析：∵S3＋3S2＝0，∴a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0，∴a1(4＋4q＋q2)＝0.∵a1≠0，∴q＝－2.答案：－27．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于________．解析：∵{an}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5＝－6，即a5＝－3，d＝＝＝2，得{an}是首项为负数的递增数列，所有的非正项之和最小，∵a6＝－1，a7＝1，∴当n＝6时，Sn取最小值．答案：68．在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有＝k(k为常数)，则称数列{an}为等差比数列，k称为公差比．现给出下列命题：①等差比数列的公差比一定不为零；②等差数列一定是等差比数列；③若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列；④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．其中正确命题的序号为________．解析：若k＝0，{an}为常数列，分母无意义，①正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，②错误；＝3，满足定义，③正确；设an＝a1qn－1(q≠0)，则＝＝q，④正确．答案：①③④9．(2011·高考福建卷)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.1(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2.由Sk＝－35可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.10．在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，a2＝b1＝3，a5＝b2，a14＝b3，(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)令cn＝ban，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1)由条件得∴∴an＝2n－1，bn＝3n.(2)由(1)得cn＝ban＝b2n－1＝32n－1.∵＝＝9，c1＝3，∴{cn}是首项为3，公比为9的等比数列，∴Tn＝＝(9n－1)．11．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，且2Sn＝2Sn－1＋2an－1＋1(n≥2，n∈N*)．数列{bn}满足b1＝，且3bn－bn－1＝n(n≥2，n∈N*)．(1)求证：数列{an}为等差数列；(2)求证：数列{bn－an}为等比数列；(3)求数列{bn}的通项公式以及前n项和Tn.解：(1)证明：∵2Sn＝2Sn－1＋2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴当n≥2时，2an＝2an－1＋1，可得an－an－1＝.∴数列{an}为等差数列．(2)证明：∵{an}为等差数列，公差d＝，∴an＝a1＋(n－1)×＝n－.又3bn－bn－1＝n(n≥2)，∴bn＝bn－1＋n(n≥2)，∴bn－an＝bn－1＋n－n＋＝bn－1－n＋＝(bn－1－n＋)＝[bn－1－(n－1)＋]＝(bn－1－an－1)，又b1－a1＝≠0，∴对n∈N*，bn－an≠0，得＝(n≥2)．∴数列{bn－an}是首项为，公比为的等比数列．(3)由(2)得bn－an＝·n－1，∴bn＝－＋·n－1(n∈N*)．∵b1－a1＋b2－a2＋…＋bn－an＝，∴b1＋b2＋…＋bn－(a1＋a2＋…＋an)＝.∴Tn－＝.∴Tn＝＋(n∈N*)．2
