专题能力训练8利用导数解不等式及参数范围一、能力突破训练1.已知函数f(x)=ax2+bx-lnx,a,b∈R.(1)若a<0,且b=2-a,试讨论f(x)的单调性;(2)若对∀b∈[-2,-1],∃x∈(1,e)使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围.2.(2018全国Ⅰ,文21)已知函数f(x)=aex-lnx-1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a≥1e时,f(x)≥0.3.已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.(1)求实数a的值;(2)若f(x)≤kx2对任意x>0成立,求实数k的取值范围;(3)当n>m>1(m,n∈N*)时,证明:n√mm√n>mn.4.已知函数f(x)=lnx-ax,其中a∈R.(1)当a=-1时,判断f(x)的单调性;(2)若g(x)=f(x)+ax在其定义域内为减函数,求实数a的取值范围;(3)当a=0时,函数f(x)的图象关于y=x对称得到函数h(x)的图象,若直线y=kx与曲线y=2x+1h(x)没有公共点,求k的取值范围.5.设函数f(x)=alnx,g(x)=12x2.(1)记g'(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x)在x∈[1,e]内有解,求实数a的取值范围;(2)若a=1,对任意的x1>x2>0,不等式m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,求m(m∈Z,m≤1)的值.6.已知函数f(x)=lnx-(x-1)22.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)证明:当x>1时,f(x)1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>k(x-1).二、思维提升训练7.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数解析式,并写出定义域;(2)证明:b2>3a;(3)若f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-72,求a的取值范围.8.设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0;(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于14.专题能力训练8利用导数解不等式及参数范围一、能力突破训练1.解(1)f'(x)=2ax+(2-a)-1x=2ax2+(2-a)x-1x=(ax+1)(2x-1)x.当-1a<12,即a<-2时,f(x)的单调递增区间为(-1a,12),单调递减区间为(0,-1a),(12,+∞);当-1a=12,即a=-2时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减;当-1a>12,即0>a>-2时,f(x)的单调递增区间为(12,-1a),单调递减区间为(0,12),(-1a,+∞).(2)对∀b∈[-2,-1],∃x∈(1,e)使得ax2+bx-lnx<0成立,即ax2-x-lnx<0在区间(1,e)内有解,即a2时,f'(x)>0.所以f(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增.(2)证明当a≥1e时,f(x)≥exe-lnx-1.设g(x)=exe-lnx-1,则g'(x)=exe−1x.当01时,g'(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.因此,当a≥1e时,f(x)≥0.3.(1)解 f(x)=ax+xlnx,∴f'(x)=a+lnx+1.又f(x)的图象在x=e处的切线的斜率为3,∴f'(e)=3,即a+lne+1=3,∴a=1.(2)解由(1)知,f(x)=x+xlnx,若f(x)≤kx2对任意x>0成立,则k≥1+lnxx对任意x>0成立.令g(x)=1+lnxx,则问题转化为求g(x)的最大值,g'(x)=1x·x-(1+lnx)x2=-lnxx2.令g'(x)=0,解得x=1.当00,∴g(x)在区间(0,1)内是增函数;当x>1时,g'(x)<0,∴g(x)在区间(1,+∞)内是减函数.故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=1,∴k≥1即为所求.(3)证明令h(x)=xlnxx-1,则h'(x)=x-1-lnx(x-1)2.由(2)知,x≥1+lnx(x>0),∴h'(x)≥0,∴h(x)是区间(1,+∞)内的增函数. n>m>1,∴h(n)>h(m),即nlnnn-1>mlnmm-1,∴mnlnn-nlnn>mnlnm-mlnm,即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn,∴lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn.整理,得ln(mnn)m>ln(nmm)n.∴(mnn)m>(nmm)n,∴n√mm√n>mn.4.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=x-1x2, 当01时,f'(x)>0,∴f(x)在区间(0,1)内为减函数,在区间(1,+∞)内为增函数.(2)由g(x)=f(x)+ax=lnx-ax+ax,可知函数g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=ax2+x+ax2. g(x)在其定义域内为减函数,∴∀x∈(0,+∞),g'(x)≤...
