考点测试48椭圆一、基础小题1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案A解析依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为＋＝1.2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案B解析2x2＋3y2＝m(m>0)⇒＋＝1，∴c2＝－＝.∴e2＝，∴e＝.故选B.3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m等于()A.B．2C．4D.答案D解析由x2＋＝1及题意知，2＝2×2×1，m＝，故选D.4．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且MF1·MF2＝0，则点M到y轴的距离为()A.B.C.D.答案B解析设M(x，y)，由MF1·MF2＝0，得x2＋y2＝c2＝3，又＋y2＝1，解得x＝±.5．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．6．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.B.C.D.答案C解析令c＝.如图，据题意，|F2P|＝|F1F2|，∠F1PF2＝30°，∴∠F1F2P＝120°，∴∠PF2x＝60°，∴|F2P|＝2＝3a－2c. |F1F2|＝2c，∴3a－2c＝2c，∴3a＝4c，∴＝，即椭圆的离心率为.故选C.7．已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|PF1＋PF2|的最小值是()A．0B．1C．2D．2答案C解析设P(x0，y0)，则PF1＝(－1－x0，－y0)，PF2＝(1－x0，－y0)，∴PF1＋PF2＝(－2x0，－2y0)，∴|PF1＋PF2|＝＝2＝2. 点P在椭圆上，∴0≤y≤1，∴当y＝1时，|PF1＋PF2|取最小值2.故选C.8．已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是________．答案解析设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝4.又r＋r－2r1r2cos60°＝|F1F2|2，(r1＋r2)2－3r1r2＝12，∴r1r2＝，S＝r1r2sin60°＝.二、高考小题9．[2015·广东高考]已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()A．2B．3C．4D．9答案B解析依题意有25－m2＝16， m>0，∴m＝3.选B.10．[2016·全国卷Ⅰ]直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案B解析如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·，所以e＝＝.故选B.11．[2015·全国卷Ⅰ]已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝()A．3B．6C．9D．12答案B解析抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.从而椭圆E的半焦距c＝2.可设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，因为离心率e＝＝，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由题意知|AB|＝＝2×＝6.故选B.12．[2015·福建高考]已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析直线l：3x－4y＝0过原点，从而A，B两点关于原点对称，于是|AF|＋|BF|＝2a＝4，所以a＝2.不妨令M(0，b)，则由点M(0，b)到直线l的距离不小于，得≥，即b≥1.所以e2＝＝＝≤，又0b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.B.C.D.答案A解析解法一：设点M(－c，y0)，OE的中点为N，则直线AM的斜率k＝，从而直线AM的方程为y＝(x＋a)，令x＝0，得点E的纵坐标yE＝.同理，OE的中点N的纵坐标yN＝.因为2yN＝yE，所以＝，即2a－2c＝a＋c，所以e＝＝.故选A.解法二：如图，设OE的中点为N，由题意知|AF|＝a－c，|BF|＝a＋c，|OF|＝c，|OA|＝|OB|＝a， PF∥y轴，∴＝＝，＝＝，又 ...
