第15课函数的综合应用一、填空题1.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f32=.2.设f(x)=log3(3x+1)+12ax是偶函数,则实数a的值为.3.方程4x-2x+1-3=0的解是.4.设函数D(x)=1,,0,,xx为有理数为无理数则下列结论中正确的是.(填序号)①D(x)的值域为{0,1};②D(x)是偶函数;③D(x)不是周期函数;④D(x)不是单调函数.5.(2014·皖南八校模拟)已知函数f(x)=ax2+ax和g(x)=x-a,其中a∈R且a≠0.若函数f(x)与g(x)的图象的一个公共点恰好在x轴上,则a的值为.6.(2014·天津卷)函数f(x)=12log(x2-4)的单调增区间是.7.(2014·重庆卷)函数f(x)=log2x·2log(2x)的最小值为.8.(2014·佛山模拟)已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,在(0,+∞)上单调递减,且f12>f(-3)>0,那么方程f(x)=0的根的个数为.二、解答题9.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元,卖出的价格是每份0.30元,卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.一个月(以30天计算)有20天每天可卖出400份,其余10天只能卖250份,但每天从报社买进报纸的份数都相同,问:应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大?并求每月最大利润.110.(2014·安庆模拟)已知函数f(x)=21axxb(a≠0)是奇函数,且函数f(x)的图象经过点(1,3),求实数a,b的值.11.(2014·南京模拟)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.2第15课函数的综合应用1.32解析:由题意知f32=f3-22=f1-2=f12=12+1=32.2.-1解析:由题意可得f(-1)=f(1),即log3(3-1+1)-12a=log3(3+1)+12a,解得a=-1.3.log23解析:考虑换元t=2x.4.①②④5.-1解析:由题意知函数g(x)的图象与x轴的交点坐标为(a,0),又因为点(a,0)也在函数f(x)的图象上,所以a3+a2=0,而a≠0,所以a=-1.6.(-∞,-2)解析:函数f(x)=lo12g(x2-4)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),由于外层函数为减函数,由复合函数的单调性可知,只需求u(x)=x2-4(x<-2或x>2)的单调减区间,所以f(x)=lo12g(x2-4)的单调增区间为(-∞,-2).7.-14解析:f(x)=12log2x·[2(log2x+1)]=(log2x)2+log2x=221logx2-14,所以当log2x=-12,即x=22时,f(x)取得最小值-14.8.2解析:由于函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且f(-3)=-f(3)>0,故有f(3)<0,因为函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,且f12>0,由零点存在定理知,存在c∈1,32,使得f(c)=0,即函数f(x)在(0,+∞)上有唯一零点,由奇函数图象的特点知,函数f(x)在(-∞,0)上也有一个零点,故方程f(x)=0的根的个数为2.9.设每天从报社买进x份(250≤x≤400).数量(份)价格(元)金额(元)3买进30x0.206x卖出20x+10×2500.306x+750退回10(x-250)0.080.8x-200则每月所获利润y=[(6x+750)+(0.8x-200)]-6x=0.8x+550(250≤x≤400).y在[250,400]上是一次函数,所以当x=400时,y取得最大值870.所以从报社买400份才能使每月所获得的利润最大,每月最大利润为870元.10.因为函数f(x)=21axxb是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即21ax-xb=-21axxb,因为a≠0,所以-x+b=-x-b,所以b=0.又函数f(x)的图象经过点(1,3),所以f(1)=3,1a1b=3,因为b=0,所以a=2.11.(1)因为f(x)=(x-a)2+5-a2(a>1),所以f(x)在[1,a]上是减函数,又定义域和值域均为[1,a],所以f(1)a,f(a)1,即221-2a5a,a-2a51,解得a=2.(2)因为f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,所以a≥2,又x=a∈[1,a+1],且(a+1)-a≤a-1,所以f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2,因为对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,所以f(x)max-f(x)min≤4,即(6-2a)-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3,又a≥2,所以2≤a≤3.综上,实数a的取值范围是[2,3].45
