专题7平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用★★★○○○○平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤·1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．3.求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积第二步分别求出这两个向量的模第三步根据公式cos〈a，b〉＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值第四步根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角1[例1](1)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足�AB＝2a，�AC＝2a＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥�BC(2)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A．－B．0C．3D.[答案](1)D(2)C1.(2017·衡水模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，那么|4a－b|＝()A．2B．6C．2D．12[解析]|4a－b|2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos＝12.∴|4a－b|＝2.2.已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.[解析]∵e1·e2＝，∴|e1||e2|cose1，e2＝，∴e1，e2＝60°.又∵b·e1＝b·e2＝1＞0，∴b，e1＝b，e2＝30°.由b·e1＝1，得|b||e1|cos30°＝1，∴|b|＝＝.3.(1)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D．π(2)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.[解析](1)由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a||b|cosθ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2·cosθ－2|b|2＝0.2∴cosθ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.1.若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝()A．2B.C．1D.解析：选B由题意知即将①×2－②得，2a2－b2＝0，∴b2＝|b|2＝2a2＝2|a|2＝2，故|b|＝.2.已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选C设向量a与b的夹角为θ，∵c＝a＋b，c⊥a，∴c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴|a|2＝－|a||b|·cosθ，∴cosθ＝－＝－＝－，∴θ＝120°.3.(2016·兰州一模)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.B.C．2D．10解析：选B∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，解得x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，于是|a＋b|＝，故选B.4.(2017·湖北八校联考)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是()A.B.C．－D．－5.已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.解析：∵a与b为两个不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1，3又a＋b与ka－b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0，∴k－1＋ka·b－a·b＝0，即k－1＋kcosθ－cosθ＝0(θ为a与b的夹角)，∴(k－1)(1＋cosθ)＝0.又a与b不共线，∴cosθ≠－1，∴k＝1.答案：16.(2017·泰安模拟)已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则a的模的取值范围为________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4
