第15讲曲线的切线1.(2018江苏盐城高三期中)已知集合A={1,3,6},B={1,2},则A∪B=.2.(2018江苏靖江高中阶段检测)已知集合A={x||x|
0},命题p:1∈A,命题q:2∈A,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则a的取值范围是.3.关于x的方程x2+ax+2=0的两根都小于1,则实数a的取值范围为.4.(2018江苏海安高中高三阶段检测)一个正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为√15,那么这个正三棱锥的体积是.5.离心率为2且与椭圆x225+y29=1有共同焦点的双曲线方程是.6.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.7.(2018江苏如皋高三上学期调研)如图,在四棱锥E-ABCD中,已知底面ABCD为平行四边形,AE⊥BC,三角形BCE为锐角三角形,平面AEB⊥平面BCE,F为CE的中点.求证:(1)AE∥平面BDF;(2)AE⊥平面BCE.18.(2018南京、盐城高三模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=√52b.(1)若C=2B,求cosB的值;(2)若⃗AB·⃗AC=⃗CA·⃗CB,求cos(B+π4)的值.2答案精解精析1.答案{1,2,3,6}解析集合A={1,3,6},B={1,2},则A∪B={1,2,3,6}.2.答案(1,2]解析由p∨q为真命题,p∧q为假命题,得p,q中一真一假,若p真q假,则10,解得a≥2√2.4.答案9解析该正三棱锥的底面面积为√34×62=9√3,高h=√15-(√33×6)2=√3,则该正三棱锥的体积是13×9√3×√3=9.5.答案x24-y212=1解析由题意知{c=4,ca=2,∴a=2,则b2=c2-a2=12,则双曲线的标准方程为x24-y212=1.6.答案43解析设直线y=kx-2上一点P(x,kx-2),圆P与圆C:(x-4)2+y2=1有公共点,则PC≤2,即(x-4)2+(kx-2)2≤4有解,即(1+k2)x2-(8+4k)x+16≤0有解,所以判别式Δ=[-(8+4k)2]-64(1+k2)≥0,化简得3k2-4k≤00≤k≤⇒43,故k的最大值是43.7.证明(1)连接AC交BD于O,连接OF.在平行四边形ABCD中,对角线AC交BD于O,则O为AC的中点,又已知F为CE的中点,所以OF为△AEC的中位线,所以AE∥OF,又OF⊂平面BDF,AE⊄平面BDF,所以AE∥平面BDF.3(2)过C作BE的垂线,垂足为M,即CM⊥BE;因为三角形BCE为锐角三角形,所以CM与CB不重合,因为平面AEB⊥平面BCE,平面AEB∩平面BCE=BE,且CM⊥BE,CM⊂平面BCE,所以CM⊥平面BCE,又AE⊂平面AEB,所以CM⊥AE,又已知AE⊥BC,BC∩CM=C,BC,CM⊂平面BCE,所以AE⊥平面BCE.8.解析(1)因为c=√52b,则由正弦定理,得sinC=√52sinB.又C=2B,所以sin2B=√52sinB,即4sinB·cosB=√5sinB.又B是△ABC的内角,所以sinB>0,故cosB=√54.(2)因为⃗AB·⃗AC=⃗CA·⃗CB,所以cbcosA=bacosC,则由余弦定理,得b2+c2-a2=b2+a2-c2,得a=c.从而cosB=a2+c2-b22ac=c2+c2-(2√5c)22c2=35,又0
