专题9三角函数的化简求值三角函数的化简求值★★★○○○○1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βS(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βS(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βT(α－β)tan(α－β)＝；变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)T(α＋β)tan(α＋β)＝；变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)2.二倍角公式S2αsin2α＝2sin_αcos_α；变形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2C2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；变形：cos2α＝，sin2α＝T2αtan2α＝1.三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．1[例]已知α∈(0，π)，化简：＝________.[解析]原式＝.因为α∈(0，π)，所以∈，所以cos>0，所以原式＝＝·＝cos2－sin2＝cosα.[答案]cosα[例2]求值：－sin10°－tan5°；[解]原式＝－sin10°－＝－sin10°·＝－sin10°·＝－2cos10°＝＝＝＝＝.2.求值：sin50°(1＋tan10°)．3.(1)设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为()A.B.C.D.或(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β的值为________．2[解析](1)∵α，β为钝角，sinα＝，cosβ＝－，∴cosα＝，sinβ＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝>0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，∴α＋β＝.∵tanβ＝－<0，∴<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.1.计算：＝()A.B.C.D．－解析：选A＝＝＝.2.(1＋tan18°)·(1＋tan27°)的值是()A.B．1＋C．2D．2(tan18°＋tan27°)解析：选C原式＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan18°tan27°＋tan45°(1－tan18°tan27°)＝2，故选C.33.化简：＝________.解析：＝＝＝＝＝＝＝tanα.答案：tanα4.化简：＝________.解析：原式＝＝＝＝cos2x.答案：cos2x5.已知α∈，且sin＋cos＝.(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cosβ的值．解：(1)已知sin＋cos＝，两边同时平方，得1＋2sincos＝，则sinα＝.又<α<π，所以cosα＝－＝－.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________5
