第25练数列的综合问题[明晰考情]1.命题角度：等差数列与等比数列的综合；等差数列、等比数列与其他知识的综合.2.题目难度：数列在高考中一般是压轴题，高档难度.考点一等差数列、等比数列的判定与证明方法技巧判断等差(比)数列的常用方法(1)定义法：若an＋1－an＝d，d为常数，则{an}为等差(比)数列.(2)中项公式法.(3)通项公式法.1.(2018·江苏省如东高级中学测试)已知各项均为正数的数列{an}的首项a1＝1,Sn是数列{an}的前n项和，且满足：anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝λanan＋1(λ≠0，n∈N*).(1)若a1，a2，a3成等比数列，求实数λ的值；(2)若λ＝，求证：数列为等差数列；(3)在(2)的条件下，求Sn.(1)解令n＝1，得a2＝，令n＝2，得a2S3－a3S2＋a2－a3＝λa2a3，所以a3＝.由a＝a1a3，得2＝，因为λ≠0，所以λ＝1.(2)证明当λ＝时，anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝λanan＋1，所以－＋－＝，即－＝，所以数列是以2为首项，公差为的等差数列.(3)解由(2)知＝2＋·，即＝＋，得Sn＋1＝an，①当n≥2时，Sn－1＋1＝an－1，②①－②得，an＝an－an－1，即(n＋1)an＝(n＋2)an－1，所以＝(n≥2)，所以是首项为的常数列，所以an＝(n＋2)，代入①得Sn＝an－1＝.2.从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{an}的一个子数列，设数列{an}是一个首项为a1，公差为d(d≠0)的无穷等差数列(即项数有无限项).(1)若a1，a2，a5成等比数列，求其公比q；(2)若a1＝7d，从数列{an}中取出第2项，第6项作为一个等比数列的第1项，第2项，试问该数列是否为{an}的无穷等比子数列，请说明理由.1解(1)由题设，得a＝a1a5，即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，得d2＝2a1d，又d≠0，于是d＝2a1，故其公比q＝＝3.(2)设等比数列为{bm}，其公比q＝＝，bm＝a2qm－1＝8d·m－1，由题设an＝a1＋(n－1)d＝(n＋6)d.假设数列{bm}为{an}的无穷等比子数列，则对任意自然数m(m≥3)，都存在n∈N*，使an＝bm，即(n＋6)d＝8d·m－1，得n＝8m－1－6，当m＝5时，n＝85－1－6＝∉N*，与假设矛盾，故该数列不为{an}的无穷等比子数列.3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rSn(n∈N*，r∈R，r≠－1).(1)求数列{an}的通项公式；(2)若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差数列，并证明你的结论.解(1)由已知an＋1＝rSn，可得an＋2＝rSn＋1，两式相减可得an＋2－an＋1＝r(Sn＋1－Sn)＝ran＋1，即an＋2＝(r＋1)an＋1，又a2＝ra1＝ra，所以当r＝0时，数列{an}为：a,0，…，0，…；当r≠0，r≠－1时，由已知a≠0，所以an≠0(n∈N*)，于是由an＋2＝(r＋1)an＋1，可得＝r＋1(n∈N*)，∴a2，a3，…，an，…成等比数列，∴当n≥2时，an＝r(r＋1)n－2a.综上，数列{an}的通项公式为an＝(2)对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列，证明如下：当r＝0时，由(1)知，an＝∴对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列，当r≠0，r≠－1时， Sk＋2＝Sk＋ak＋1＋ak＋2，Sk＋1＝Sk＋ak＋1.若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，则Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk，∴2Sk＋2ak＋1＋ak＋2＝2Sk，即ak＋2＝－2ak＋1，由(1)知，a2，a3，…，am，…的公比r＋1＝－2，于是对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1＝－2am，从而am＋2＝4am，∴am＋1＋am＋2＝2am，即am＋1，am，am＋2成等差数列，综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列.4.(2018·连云港期末)设{an}是公差为d(d≠0)且各项为正数的等差数列，{bn}是公比为q且各项均为正数的等比数列，cn＝an·bn(n∈N*).(1)求证：数列是等差数列；(2)若a1＝b1＝2,c2＝20,c3＝64.2①求数列{an}与{bn}的通项公式；②求数列{cn}的前n项和Sn.(1)证明因为＝＝＝＝，所以－＝－＝＝(常数)，由等差数列的定义可知数列是以为公差的等差数列.(2)解①因为a1＝b1＝2,c2＝20,c3＝64，所以因为{an}的各项为正数，所以则an＝3n－1,bn＝2n.②因为an＝3n－1,bn＝2n，所以cn＝(3n－1)·2n，所以Sn＝∑ci＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋·2n，①2Sn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－4)·2n＋(3n－1)·2n...
