第13讲椭圆、双曲线、抛物线1.(2018课标全国Ⅰ,4,5分)已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.13B.12C.❑√22D.2❑√232.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为()A.±❑√3B.±1C.±34D.±❑√333.(2018广东惠州第二次调研)设F1,F2为椭圆x29+y25=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2||PF1|的值为()A.514B.59C.49D.5134.(2018湖北八校联考)已知a>b>0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1,C1与C2的离心率之积为❑√32,则C2的渐近线方程为()A.x±❑√2y=0B.❑√2x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=05.(2018课标全国Ⅰ,11,5分)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.2❑√3D.46.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点(2,1)在“右”区域内,则双曲线离心率e的取值范围是()A.(1,❑√52)B.(❑√52,+∞)C.(1,54)D.(54,+∞)7.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴,若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.8.已知双曲线过点(4,❑√3)且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程是.9.已知抛物线C的顶点为坐标原点,准线为x=-1,直线l与抛物线C交于M,N两点,若线段MN的中点为(1,1),则直线l的方程为.10.若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形,则椭圆C的内接正方形的面积为.11.已知椭圆与抛物线y2=4❑√2x有一个相同的焦点,且该椭圆的离心率为❑√22.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,若⃗AP=2⃗PB,求△AOB的面积.12.(2018课标全国Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.13.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为点A,B,且|AB|=❑√52|BF|.(1)求椭圆C的离心率.(2)若点M(-1617,217)在椭圆C内部,过点M的直线l交椭圆C于P,Q两点,M为线段PQ的中点,且OP⊥OQ.求直线l的方程及椭圆C的方程.答案全解全析1.C由题意可知c=2,b2=4, a2=b2+c2=4+22=8,∴a=2❑√2,∴e=ca=22❑√2=❑√22.故选C.2.A设M(x0,y0),由题意知x0+p2=2p,则x0=3p2,从而y02=3p2,则M(3p2,❑√3p)或M(3p2,-❑√3p),又F(p2,0),所以kMF=±❑√3.3.D如图,设线段PF1的中点为M,因为O是F1F2的中点,所以OM∥PF2,可得PF2⊥x轴,则|PF2|=b2a=53,所以|PF1|=2a-|PF2|=133,所以|PF2||PF1|=513,故选D.4.A因为a>b>0,所以椭圆C1的离心率为❑√a2-b2a,双曲线C2的离心率为❑√a2+b2a.因为C1与C2的离心率之积为❑√32,所以❑√a2-b2a·❑√a2+b2a=❑√32,所以(ba)2=12,即ba=❑√22,所以C2的渐近线方程为y=±❑√22x,即x±❑√2y=0,故选A.5.B本题主要考查双曲线的几何性质.由双曲线C:x23-y2=1可知其渐近线方程为y=±❑√33x,∴∠MOx=30°,∴∠MON=60°,不妨设∠OMN=90°,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,∴|OM|=❑√3,则在Rt△OMN中,|MN|=|OM|·tan∠MON=3.故选B.6.B依题意,双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,且“右”区域是由不等式组{y-bax所确定,又点(2,1)在“右”区域内,于是有1<2ba,即ba>12,因此双曲线的离心率e=❑√1+(ba)2∈(❑√52,+∞),选B.7.答案(1,0)解析由题意知直线l的方程为x=1,则直线与抛物线的交点为(1,±2❑√a)(a>0).又直线被抛物线截得的线段长为4,所以4❑√a=4,即a=1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).8.答案14x2-y2=1解析设双曲线方程为y2-14x2=λ,λ≠0,把点(4,❑√3)代入,可得3-14×16=λ,所以λ=-1,所以双曲线的标准方程是14x2-y2=1.9.答案2x-y-1=0解析依题意得抛物线的方程为y2=4x,设M(x1,y1),N(x2,y2),因为线段MN的中点为(1,1),故x1+x2=2,y1+y2=2,则x1≠x2,由题意知y12=4x1,y22=4x2,两式相减得y12-y22=4(x1-x2),所以y1-y2x1-x2=4y1+y2=2,故直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.10.答案43解析由已知得a=1,b=c=❑√22,所以椭圆C的方程为...
