专题36基本不等式1．设x>0，y>0，且2x＋y＝6，则9x＋3y有()A．最大值27B．最小值27C．最大值54D．最小值54答案：D2．已知a，b为正实数，函数y＝2aex＋b的图象过点(0,1)，则＋的最小值是()A．3＋2B．3－2C．4D．2解析：因为函数y＝2aex＋b的图象过(0,1)点，所以2a＋b＝1，所以＋＝＋＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即b＝a时，取等号，所以＋的最小值是3＋2。答案：A3．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为()A．1B．6C．9D．16解析：方法一：因为＋＝1，所以a＋b＝ab(⇒a－1)(b－1)＝1，所以＋≥2＝2×3＝6。方法二：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，所以＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)－10≥16－10＝6。方法三：因为＋＝1，所以a－1＝，所以＋＝(b－1)＋≥2＝2×3＝6。答案：B4．设a＞1，b＞0，若a＋b＝2，则＋的最小值为()A．3＋2B．6C．4D．2答案：A5．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为()A.B.C.D.解析：由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)。因为＝4a1，所以qm＋n－2＝16，所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6，所以＋＝(m＋n)＝≥(5＋4)＝。当且仅当＝时，等号成立，故＋的最小值等于。答案：A6．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A．[3，＋∞)B．(－∞，3]C．(－∞，6]D．[6，＋∞)解析：因为a＞0，b＞0，＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，而x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6。答案：D7．已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，＋的最大值为________。解析：由≤得＋≤＝＝2，当且仅当x＝，y＝时取等号。答案：28．若不等式(x＋y)≥16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________。所以a＋4＋4≥16，解得a≥4，因此正实数a的最小值为4。答案：49．下列命题中正确的是________(填序号)。①y＝2－3x－(x＞0)的最大值是2－4；②y＝sin2x＋的最小值是4；③y＝2－3x－(x＜0)的最小值是2－4。解析：①正确，因为y＝2－3x－＝2－≤2－2＝2－4。当且仅当3x＝，即x＝时等号成立。②不正确，令sin2x＝t，则0＜t≤1，所以g(t)＝t＋，显然g(t)在(0,1]上单调递减，故g(t)min＝g(1)＝1＋4＝5。③不正确，因为x＜0，所以－x＞0，最小值为2＋4，而不是2－4。答案：①10．若a>0，b>0，且＋＝。(1)求a3＋b3的最小值。(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由。解析：(1)因为a＞0，b＞0，且＋＝，所以＝＋≥2，11．已知f(x)＝。(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；(2)若对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求实数t的范围。解析：(1)f(x)＞k⇔kx2－2x＋6k＜0，由已知其解集为{x|x＜－3或x＞－2}，得x1＝－3，x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，所以－2－3＝，即k＝－。(2) x＞0，f(x)＝＝≤，由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故实数t的取值范围是。12．为了净化空气，某科研小组根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和。由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用。(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)。解析：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)＝4y＝令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，所以a的最小值为24－16≈1.6。13．已知不等式>0(a∈R)．(1)解这个关于x的不等式；(2)若x＝－a时不等式成立，求a的取值范围．解：(1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1；②当a>0时，不等式化为(x＋1)>0，解得x<－1或x>；③当a<0时，不等式化...
