课时作业43空间几何体的表面积与体积一、选择题1．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为()A．4B．8C．16D．20解析：由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为6，高为2的三角形，三棱锥的高为4，所以体积为V＝××6×2×4＝8.故选B.答案：B2．(2017·黄冈中学月考)某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为()1A．48B．56C．64D．72解析：该组合体由两个棱柱组成，上面的棱柱体积为2×4×5＝40，下面的棱柱体积为4×6×1＝24，故组合体的体积为64.故选C.答案：C3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A．2πB．πC．2D．1解析：以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的圆柱的底面半径为1，母线长为1.故侧面积为2πr·l＝2π·1·1＝2π.答案：A4．如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为()A.B.C.D.解析：在△ABC中，BC边上的高为，即棱锥A－BB1C1的高为，又S△BB1C1＝，所以VB1－ABC1＝VA－BB1C1＝××＝.答案：A5．(2017·江西九江一模)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为()2A．6＋4＋2B．8＋4C．6＋6D．6＋2＋4解析：直观图是四棱锥P－ABCD，如图所示，S△PAB＝S△PAD＝S△PDC＝×2×2＝2，S△PBC＝×2×2×sin60°＝2，S四边形ABCD＝2×2＝4，因此所求棱锥的表面积为6＋4＋2.故选A.答案：A6．(2017·河南洛阳测试)已知点A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝，AC＝3，若三棱锥D－ABC体积的最大值为，则球O的表面积为()A．36πB．16πC．12πD.π解析：由题意可得，∠ABC＝，△ABC的外接圆半径r＝，当三棱锥的体积取最大值时，VD－ABC＝S△ABC·h(h为点D到底面ABC的距离)⇒＝··h⇒h＝3，设R为球O的半径，则(3－R)2＝R2－r2⇒R＝2.故球O的表面积为4π·22＝16π.答案：B二、填空题7．(2016·北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．3解析：通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积S＝＝，通过侧(左)视图可知四棱柱的高h＝1，所以该四棱柱的体积V＝Sh＝.答案：8．(2016·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.解析：4将三视图还原成直观图如图所示，它由2个长方体组合而成，其体积V＝2×2×2×4＝32cm3，表面积为6×2×4＋6×2×2＝72cm2.答案：32729．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________．解析：设等边三角形的边长为2a，则V圆锥＝·πa2·a＝πa3；又R2＝a2＋(a－R)2，所以R＝a，故V球＝·3＝a3，则其体积比为.答案：三、解答题10．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．解：解：(1)直观图如图所示．5(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，则四边形AA1EB是正方形，AA1＝BE＝1，在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1，所以BB1＝.所以几何体的表面积S＝S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形AA1D1D＝1＋2×1＋2××(1＋2)×1＋1×＋1＝(7＋)(m2)．所以几何体的体积V＝×1×2×1＝(m3)．所以该几何体的表面积为(7＋)m2，体积为m3.11．(2016·新课标全国卷Ⅲ)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(Ⅰ)证明MN∥平面PAB；(Ⅱ)求四面体N－BCM的体积．解：(Ⅰ)由已知得AM＝AD＝2.6取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(Ⅱ)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E，连接AE，由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.由AM∥BC得M到BC的距离为，故S△BCM＝×4×＝2.所以四面体N－BCM的体积VN－B...
