课后提升作业二十二函数的单调性与导数(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·广州高二检测)函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间为()A.(-1,1]B.(0,1]C.[1,+∞)D.(0,+∞)【解析】选B.由题意知,函数的定义域为(0,+∞),又由f′(x)=x-≤0,解得0
0时,y′的符号不确定;B中,y′=ex+xex=(x+1)ex,当x>0时,y′>0,故在(0,+∞)内为增函数;C中:y′=3x2-1,当x>0时,y′>-1;D中,y′=-1,当x>0时,y′>-1.3.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是()A.y=2-3x2B.y=lnxC.y=D.y=sinx【解析】选C.A中,y′=-6x,当-10,当00对x∈(-1,1)恒成立,所以函数y=sinx在(-1,1)上是增函数.4.(2015·湖南高考)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()A.奇函数,且在上是增函数B.奇函数,且在上是减函数C.偶函数,且在上是增函数D.偶函数,且在上是减函数【解题指南】先判断函数的奇偶性,再判断函数的单调性.【解析】选A.显然,f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,又因为f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,因为f′(x)=+=,在(0,1)上f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)上是增函数.5.设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围为()A.[-,+∞)B.(-∞,-3]C.(-∞,-3]∪[-,+∞)D.[-,]【解析】选C.f′(x)=x2+2ax+5,当f(x)在[1,3]上单调递减时,由得a≤-3;当f(x)在[1,3]上单调递增时,f′(x)≥0恒成立,则有Δ=4a2-4×5≤0或或得a∈[-,+∞).2综上a的取值范围为(-∞,-3]∪[-,+∞).6.(2016·烟台高二检测)设函数f(x)=ax3-x2(a>0)在(0,3)内不单调,则实数a的取值范围是()A.a>B.00)在(0,3)内不单调,所以f′(x)在(0,3)内有零点.而f′(x)=ax2-2x有零点0,(a>0),所以0<<3,解得a>.7.已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x),且当x≠2时,导函数f′(x)满足(x-2)f′(x)>0.若20可得x>2时f′(x)>0,所以f(x)在(2,+∞)是增函数.因为24,2<4-log2a<3,即2a>3>4-log2a>2,所以f(4-log2a)2f(1)【解题指南】首先对x分段讨论,解不等式求出f′(x)的符号,判断出f(x)的单调性,然后利用函3数的单调性比较出函数f(0),f(2)与f(1)的大小关系,最后利用不等式的性质即可得出所选的答案.【解析】选C.因为(x-1)f′(x)≥0,所以当x>1时,f′(x)>0;当x<1时,f′(x)<0,所以f(x)在(1,+∞)上为增函数,在(-∞,1)上为减函数,所以f(2)≥f(1),f(0)≥f(1),所以f(0)+f(2)≥2f(1).8.已知函数f(x)满足:f(x)+2f′(x)>0,那么下列不等式成立的是()A.f(1)>B.f(2)f(2)D.f(0)>e2f(4)【解析】选A.令g(x)=f(x),则g′(x)=f(x)+f′(x)=(f(x)+2f′(x)),因为函数f(x)满足f(x)+2f′(x)>0,所以g′(x)>0,所以函数g(x)在定义域内为增函数,所以g(1)>g(0),所以f(1)>f(0),故f(1)>.【补偿训练】已知偶函数y=f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式中成立的有.(1)ff(3)f(0)0,且f′(x)cosx+f(x)sinx=f′(x)cosx-f(x)(cosx)′,所以可构造函数g(x)=,则g′(x)=>0,所以g(x)为偶函数且在上单调递增,所以有g=g==2f,4g=g==f,g==f.由函数单调性可知gg(0)=f(0),所以(3)正确.答案:(2)(3)(4)二、...
