第2讲椭圆、双曲线、抛物线1．(2016·课标全国乙)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3)B．(－1，)C．(0,3)D．(0，)答案A解析 方程－＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m20)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案D解析由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，联立解得或即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.故双曲线的方程为－＝1.故选D.3．(2016·课标全国甲)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为()A.B.C.D．2答案A解析如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝.4．(2016·浙江)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．答案9解析抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)．准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质特别是离心率.2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系弦长、中点等.热点一圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．例1(1)△ABC的两个顶点为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC周长为18，则C点轨迹方程为()A.＋＝1(y≠0)B.＋＝1(y≠0)C.＋＝1(y≠0)D.＋＝1(y≠0)(2)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.答案(1)D(2)解析(1) △ABC的两顶点A(－4,0)，B(4,0)，周长为18，∴|AB|＝8，|BC|＋|AC|＝10. 10>8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，∴2a＝10,2c＝8，∴b＝3.∴椭圆的标准方程是＋＝1(y≠0)．故选D.(2)由椭圆方程知其焦点坐标为(－4,0)和(4,0)，恰分别为△ABC的顶点A和C的坐标，由椭圆定义知|BA|＋|BC|＝2a＝10，在△ABC中，由正弦定理可知，＝＝＝.思维升华(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1(2)抛物线y2＝4x上的两点A，B到焦点的距离之和为8，则线段AB的中点到y轴的距离为________．答案(1)B(2)3解析(1)由抛物线x2＝24y得焦点坐标为(0,6)， 双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点相同，∴c＝6，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，又双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，∴＝，即b＝a，又 c2＝a2＋b2，∴a2＝9，b2＝27，∴双曲线的标准方程为－＝1.故选B.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义及题意知，x1＋1＋x2＋1＝8，∴x1＋x2＝6.∴线段AB的中点到y轴的距离为3.热点二圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．例2(1)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的...
