课下层级训练(十六)利用导数研究函数的单调性[A级基础强化训练]1．(2019·山东聊城月考)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0，3)C．(1，4)D．(2，＋∞)【答案】D[因为f(x)＝(x－3)ex，则f′(x)＝ex(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2，所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]2．(2019·重庆涪陵月考)已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是()【答案】A[设g(x)＝f′(x)＝2x－2sinx，g′(x)＝2－2cosx≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增．]3．(2019·山东青岛模拟)已知函数f(x)＝x2＋，若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围为()A．(－∞，8)B．(－∞，16]C．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D．(－∞，－16]∪[16，＋∞)【答案】B[f(x)＝x2＋在x∈[2，＋∞)上单调递增，则f′(x)＝2x－＝≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立.则a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立.所以a≤16.]4．(2018·山东临沂二模)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()A．B．C．D．【答案】C[当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，故y＝f(x)在(0，1)上为减函数；当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此排除A，B，D．]5．(2019·山东淄博检测)已知函数f(x)＝ax2－4ax－lnx，则f(x)在(1，3)上不单调的一个充分不必要条件是()A．a∈B．a∈C．a∈D．a∈【答案】C[f′(x)＝2ax－4a－＝，若f(x)在(1，3)上不单调，令g(x)＝2ax2－4ax－1，则函数g(x)＝2ax2－4ax－1与x轴在(1，3)有交点，a＝0时，显然不成立；a≠0时，只需解得a＞.]6．(2019·四川成都月考)函数f(x)＝的单调递减区间是__________________.【答案】(－∞，0)，(0，1)[f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝＝，令f′(x)＜0，解得x＜1，故f(x)在(－∞，0)，(0，1)递减．]7.(2019·辽宁阜新二中月考)若函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0，2)内单调递减，则实数a的范围为__________.【答案】a≥3[ 函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0，2)内单调递减，∴f′(x)＝3x2－2ax≤0在(0，2)内恒成立．即a≥x在(0，2)内恒成立．t＝x在(0，2)上的值域为(0，3)，∴a≥3.]8．若f(x)＝xsinx＋cosx，则f(－3)，f，f(2)的大小关系为______________________.【答案】f(－3)＜f(2)＜f[函数f(x)为偶函数，因此f(－3)＝f(3)．又f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈时，f′(x)≤0.所以f(x)在区间上是减函数，所以f＞f(2)＞f(3)＝f(－3)．]9．(2019·山东青岛月考)已知函数f(x)＝ex－ax－1，其中e是自然对数的底数，实数a是常数．(1)设a＝e，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．【答案】解(1) a＝e，∴f(x)＝ex－ex－1，∴f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.∴当a＝e时，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－1.(2) f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－A．当a≤0时，f′(x)＞0，故f(x)在R上单调递增；当a＞0时，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna，∴当x＜lna时，f′(x)＜elna－a＝0，当x＞lna时，f′(x)＞elna－a＝0，∴f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；当a＞0时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．10．(2018·山东菏泽期中)已知函数f(x)＝xex－a(a∈R)．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程；(2)当a＞0时，求函数f(x)的单调区间．【答案】解(1)a＝0时，f′(x)＝(x＋1)ex，所以切线的斜率k＝f′(1)＝2e.又f(1)＝e，所以y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即2ex－y－e＝0.(2)f′(x)＝(x＋1)(ex－a)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝lnA．①当a＝时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增．②当0＜a＜时，lna＜－1，由f′(x)＞0，得x＜lna或x＞－1；由f′(x)＜0，得lna＜x＜－1，所以单调递增区间为(－∞，lna)，(－1，＋∞)，单调递减区间为(lna，－1)．③当a＞时，lna＞－1，由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞lna；由f′(x)＜0，得－1＜x＜lna，所以单调递增区间为(－∞，－1...
