§3全称量词与存在量词课后训练案巩固提升1.下列命题与其他命题不同的是()A.有一个平行四边形是矩形B.任何一个平行四边形是矩形C.某些平行四边形是矩形D.有的平行四边形是矩形解析:A,C,D是特称命题,B是全称命题.答案:B2.下列命题不是特称命题的是()A.有些实数没有平方根B.能被5整除的数也能被2整除C.存在x∈{x|x>3},使x2-5x+6<0D.有一个m,使2-m与|m|-3异号答案:B3.命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是()A.不存在x∈R,使x3-x2+1≤0B.存在x∈R,使x3-x2+1≤0C.存在x∈R,使x3-x2+1>0D.对任意的x∈R,x3-x2+1>0答案:C4.命题“存在x∈R,使2x≤0”的否定是()A.不存在x∈R,使2x>0B.存在x∈R,使2x≥0C.对任意的x∈R,2x≤0D.对任意的x∈R,2x>0答案:D5.在下列特称命题中,假命题的个数是.①有的实数是无限不循环小数;②有些三角形不是等腰三角形;③有的菱形是正方形.解析:①为真命题,如π为实数,是无限不循环小数,②③均为真命题.答案:06.写出下列全称命题的否定.(1)对任意x∈R,x2+x+1>0:.(2)对任意x∈Q,x2+x+1是有理数:.解析:全称命题的否定是特称命题,即“对任意x∈M,p(x)成立”的否定是“存在x∈M,使p(x)不成立”.答案:(1)存在x∈R,使x2+x+1≤0(2)存在x∈Q,使x2+x+1不是有理数7.写出下列特称命题的否定.(1)存在α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ:;1(2)存在x,y∈Z,使3x-2y=10:.解析:特称命题的否定是全称命题,即“存在x∈M,使p(x)成立”的否定是“对任意x∈M,p(x)不成立”.答案:(1)对任意α,β∈R,有sin(α+β)≠sinα+sinβ(2)对任意x,y∈Z,有3x-2y≠108.已知a>0,命题p:存在x∈R,使|x-4|+|x-3|
1,即a的取值范围是(1,+∞).答案:(1,+∞)9.写出下列命题的否定形式,并判断其真假.(1)不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;(2)存在一个实数x,使得x2+x+1≤0;(3)已知函数f(x)=cosx,则对任意x∈R,都有f(x)≤1;(4)对任意x∈R,x2+2>0.解(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m,方程x2+x-m=0有实数根”.其否定为“存在实数m,使得方程x2+x-m=0没有实数根”.因为当Δ=1+4m<0,即m<-时,一元二次方程没有实数根,所以,命题的否定是真命题.(2)这一命题的否定为“对任意实数x,都有x2+x+1>0”.因为x2+x+1=>0,所以它为真命题.(3)这一命题的否定为“已知函数f(x)=cosx,则存在x∈R,有f(x)>1”.因为f(x)∈[-1,1],所以命题的否定为假命题.(4)这一命题的否定为“存在x∈R,x2+2≤0”.因为x2+2≥2,所以不存在x∈R,使x2+2≤0.即其否定为假命题.10.导学号90074009若r(x):sinx+cosx>m,s(x):x2+mx+1>0,如果对任意的x∈R,r(x)为假命题且s(x)为真命题,求实数m的取值范围.解因为sinx+cosx=sin∈[-],所以如果对任意的x∈R,r(x)为假命题,即对任意的x∈R,不等式sinx+cosx>m不恒成立,所以m≥-.又对任意的x∈R,s(x)为真命题,即对任意的x∈R,不等式x2+mx+1>0恒成立,所以方程x2+mx+1=0的判别式Δ=m2-4<0,即-2
